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设n维列向量组α1，α2，…，αm(m﹤n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为( )．
设n维列向量组α1，α2，…，αm(m﹤n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为( )．
admin
2020-06-05
43
问题
设n维列向量组α
1
，α
2
，…，α
m
(m﹤n)线性无关，则n维列向量组β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关的充分必要条件为( )．
选项
A、向量组α
1
，α
2
，…，α
m
可由向量组β
1
，β
2
，…，β
m
线性表示
B、向量组β
1
，β
2
，…，β
m
可由向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示
C、向量组α
1
，α
2
，…，α
m
与向量组β
1
，β
2
，…，β
m
等价
D、矩阵A＝(α
1
，α
2
，…，α
m
)与矩阵B＝(β
m
，β
2
，…，β
m
)等价
答案
D
解析
方法一
因为同型矩阵A，B等价的充要条件是R(A)＝R(B)，而
所以β
1
，β
2
…，β
m
线性无关的充分必要条件是R(A)＝R(B)，即矩阵A与B等价．
方法二
选项(A)，(C)仅是向量组β
1
，β
2
…，β
m
线性无关的充分而非必要条件．
对于(A)，因为α
1
，α
2
，…，α
m
可由β
1
，β
2
…，β
m
线性表示，所以R(α
1
，α
2
，…，α
m
)≤R(β
1
，β
2
…，β
m
)．又由α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关知，秩R(α
1
，α
2
，…，α
m
)＝m．而向量组β
1
，β
2
…，β
m
只有m个向量，所以R(β
1
，β
2
…，β
m
)＝m，即β
1
，β
2
…，β
m
线性无关，可见(A)是β
1
，β
2
…，β
m
线性无关的充分条件，但由α
1
，α
2
，…，α
m
与β
1
，β
2
…，β
m
均线性无关，只能推得其秩相等，是不能推得这两个向量组间的线性表示关系的，如令
显然，向量组α
1
，α
2
与β
1
，β
2
均线性无关，但α
1
，α
2
与β
1
，β
2
均不能互相线性表示，依上例同时可知(C)在已知条件下，也仅是β
1
，β
2
…，β
m
线性无关的充分而非必要条件．
对于(B)，因向量组β
1
，β
2
…，β
m
可由向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示，则有
R(β
1
，β
2
…，β
m
)≤R(α
1
，α
2
，…，α
m
)＝m
由此不能推得β
1
，β
2
…，β
m
的线性相关性．由此可知(B)也不是β
1
，β
2
…，β
m
线性无关的必要条件．
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考研数学一
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