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设n维列向量组α1,α2,…,αm(m﹤n)线性无关,则n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关的充分必要条件为( ).
设n维列向量组α1,α2,…,αm(m﹤n)线性无关,则n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关的充分必要条件为( ).
admin
2020-06-05
30
问题
设n维列向量组α
1
,α
2
,…,α
m
(m﹤n)线性无关,则n维列向量组β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关的充分必要条件为( ).
选项
A、向量组α
1
,α
2
,…,α
m
可由向量组β
1
,β
2
,…,β
m
线性表示
B、向量组β
1
,β
2
,…,β
m
可由向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示
C、向量组α
1
,α
2
,…,α
m
与向量组β
1
,β
2
,…,β
m
等价
D、矩阵A=(α
1
,α
2
,…,α
m
)与矩阵B=(β
m
,β
2
,…,β
m
)等价
答案
D
解析
方法一
因为同型矩阵A,B等价的充要条件是R(A)=R(B),而
所以β
1
,β
2
…,β
m
线性无关的充分必要条件是R(A)=R(B),即矩阵A与B等价.
方法二
选项(A),(C)仅是向量组β
1
,β
2
…,β
m
线性无关的充分而非必要条件.
对于(A),因为α
1
,α
2
,…,α
m
可由β
1
,β
2
…,β
m
线性表示,所以R(α
1
,α
2
,…,α
m
)≤R(β
1
,β
2
…,β
m
).又由α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关知,秩R(α
1
,α
2
,…,α
m
)=m.而向量组β
1
,β
2
…,β
m
只有m个向量,所以R(β
1
,β
2
…,β
m
)=m,即β
1
,β
2
…,β
m
线性无关,可见(A)是β
1
,β
2
…,β
m
线性无关的充分条件,但由α
1
,α
2
,…,α
m
与β
1
,β
2
…,β
m
均线性无关,只能推得其秩相等,是不能推得这两个向量组间的线性表示关系的,如令
显然,向量组α
1
,α
2
与β
1
,β
2
均线性无关,但α
1
,α
2
与β
1
,β
2
均不能互相线性表示,依上例同时可知(C)在已知条件下,也仅是β
1
,β
2
…,β
m
线性无关的充分而非必要条件.
对于(B),因向量组β
1
,β
2
…,β
m
可由向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示,则有
R(β
1
,β
2
…,β
m
)≤R(α
1
,α
2
,…,α
m
)=m
由此不能推得β
1
,β
2
…,β
m
的线性相关性.由此可知(B)也不是β
1
,β
2
…,β
m
线性无关的必要条件.
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