已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex。求f(x)的表达式；

admin2017-01-13 30

问题已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2e^x。
求f(x)的表达式；

选项

答案齐次微分方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为λ²+λ一2=0，特征根为λ₁=1，λ₂=一2，因此该齐次微分方程的通解为f(x)=C₁e^x+C₂e^-2x。再由 f’’(x)+f(x)=2e得 2C₁e^x一3C₂e^-2x=2e^x，因此可知 C₁=1，C₂=0。所以f(x)的表达式为f(x)=e^x。

解析

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