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一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,该曲线由x2+y1=2y(y≥1/2)与x2+y2=1(y≤1/2)连接而成。 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?(长度单位:m,重力加速度为gm/s2,水的密度为103kg/m3
一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,该曲线由x2+y1=2y(y≥1/2)与x2+y2=1(y≤1/2)连接而成。 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?(长度单位:m,重力加速度为gm/s2,水的密度为103kg/m3
admin
2019-08-01
72
问题
一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,该曲线由x
2
+y
1
=2y(y≥1/2)与x
2
+y
2
=1(y≤1/2)连接而成。
若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?(长度单位:m,重力加速度为gm/s
2
,水的密度为10
3
kg/m
3
)
选项
答案
容器内侧曲线可表示为 [*] 在y轴上任意取一个微元[y,y+dy],对应容器的小薄片的水的重量为ρgπf
2
(y)dy(ρ为水的密度),它升高的距离为d(y)=2-y。将此薄片抽出所作的功为 dW=ρgπf
2
(y)(2-y)dy, 因此将容器中的水全部抽出所作的功为 W=∫
-1
2
ρgπf
2
(y)(2-y)dy=ρgπ[∫
-1
1/2
(1-y
2
)(2-y)dy+∫
1/2
2
(2y-y
2
)(2-y)dy], 其中 ∫
1/2
2
(2y-y
2
)(2-y)dy=∫
1/2
2
[1-(1-y)
2
][1+(1-y)]dy [*]∫
-1
1/2
(1-t
2
)(1+t)dt=∫
-1
1/2
(1-y
2
)(1+y)dy。 再代入上式可得 W=ρgπ[∫
-1
1/2
(1-y
2
)(2-y)dy+∫
-1
1/2
(1-y
2
)(1+y)dy] =ρgπ∫
-1
1/2
3(1-y
2
)dy=ρgπ.3([*]y
3
|
-1
1/2
) [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CJN4777K
0
考研数学二
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