2. 考研
  3. 一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y1=2y(y≥1／2)与x2+y2=1(y≤1／2)连接而成。 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为gm／s2，水的密度为103kg／m3

一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y1=2y(y≥1／2)与x2+y2=1(y≤1／2)连接而成。 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为gm／s2，水的密度为103kg／m3

admin2019-08-01  52
问题 一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y1=2y(y≥1／2)与x2+y2=1(y≤1／2)连接而成。

若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为gm／s2，水的密度为103kg／m3)
选项
答案容器内侧曲线可表示为 [*] 在y轴上任意取一个微元[y，y+dy]，对应容器的小薄片的水的重量为ρgπf2(y)dy(ρ为水的密度)，它升高的距离为d(y)=2－y。将此薄片抽出所作的功为 dW=ρgπf2(y)(2－y)dy， 因此将容器中的水全部抽出所作的功为 W=∫－12ρgπf2(y)(2－y)dy=ρgπ[∫－11／2(1－y2)(2－y)dy+∫1／22(2y－y2)(2－y)dy]， 其中 ∫1／22(2y－y2)(2－y)dy=∫1／22[1－(1－y)2][1+(1－y)]dy [*]∫－11／2(1－t2)(1+t)dt=∫－11／2(1－y2)(1+y)dy。 再代入上式可得 W=ρgπ[∫－11／2(1－y2)(2－y)dy+∫－11／2(1－y2)(1+y)dy] =ρgπ∫－11／23(1－y2)dy=ρgπ．3([*]y3|－11／2) [*]
解析
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考研数学二

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