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以下4个命题: ①设f(x)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,则∫-∞+∞f(x)dx必收敛,且∫-∞+∞f(x)dx=0; ②设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且∫-RRf(x)dx存在,∫-∞+∞f(x)dx出必收敛,且∫-∞+∞f(x)dx=∫-RRf
以下4个命题: ①设f(x)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,则∫-∞+∞f(x)dx必收敛,且∫-∞+∞f(x)dx=0; ②设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且∫-RRf(x)dx存在,∫-∞+∞f(x)dx出必收敛,且∫-∞+∞f(x)dx=∫-RRf
admin
2019-05-15
46
问题
以下4个命题:
①设f(x)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,则∫
-∞
+∞
f(x)dx必收敛,且∫
-∞
+∞
f(x)dx=0;
②设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且
∫
-R
R
f(x)dx存在,∫
-∞
+∞
f(x)dx出必收敛,且∫
-∞
+∞
f(x)dx=
∫
-R
R
f(x)dx;
③若∫
-∞
+∞
f(x)dx与∫
-∞
+∞
g(x)dx都发散,则∫
-∞
+∞
[f(x)+g(x)]dx未必发散;
④若∫
-∞
0
f(x)dx与∫
0
+∞
f(x)dx都发散,则∫
-∞
+∞
f(x)dx未必发散.
正确的个数为 ( )
选项
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案
A
解析
∫
-∞
+∞
f(x)dx收敛则对任意常数a,使∫
-∞
a
f(x)dx和∫
a∞
+∞
f(x)dx都收敛,此时
∫
-∞
+∞
f(x)dx=∫
-∞
a
f(x)dx+∫
a
+∞
f(x)dx.
设f(x)=x,则f(x)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,且
∫
-R
R
f(x)dx=0.
但是
∫
-∞
0
f(x)dx=∫
-∞
0
xdx=∞,∫
0
+∞
f(x)dx=∫
0
+∞
xdx=∞,故∫
-∞
+∞
f(x)如发散,这表明命题①,②,④都不是真命题.
设f(x)=x,g(x)=-x,由上面讨论可知∫
-∞
+∞
f(x)dx与∫
-∞
+∞
g(x)dx都发散,但∫
-∞
+∞
[f(x)+g(x)]dx收敛,这表明命题③是真命题.故应选A.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CK04777K
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考研数学一
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