设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’＋y’＋qy＝Q(x)有特解y＝3e－4x＋x2＋3x＋2，则Q(x)＝，该微分方程的通解为．

admin2017-12-31 40

问题设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’＋y’＋qy＝Q(x)有特解y＝3e^－4x＋x²＋3x＋2，则Q(x)＝______，该微分方程的通解为______．

选项

答案y＝C₁e^－4x＋C₂e^3x＋x²＋3x＋2(其中C₁，C₂为任意常数)

解析显然λ＝－4是特征方程λ²＋λ＋q＝0的解，故q＝－12，
即特征方程为λ²＋λ－12＝0，特征值为λ₁＝4，λ₂＝3．
因为x²＋3x＋2为特征方程y’’＋y’－12y＝Q(x)的一个特解，
所以Q(x)＝2＋2x＋3－12(x²＋3x＋2)＝－12x²－34x－19，
且通解为y＝C₁e^－4x＋C₂e^3x＋x²＋3x＋2(其中C₁，C₂为任意常数)．

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