2. 考研
  3. 设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’＋y’＋qy＝Q(x)有特解y＝3e－4x＋x2＋3x＋2，则Q(x)＝______，该微分方程的通解为______．

设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’＋y’＋qy＝Q(x)有特解y＝3e－4x＋x2＋3x＋2，则Q(x)＝______，该微分方程的通解为______．

admin2017-12-31  48
问题 设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’＋y’＋qy＝Q(x)有特解y＝3e－4x＋x2＋3x＋2，则Q(x)＝______，该微分方程的通解为______．
选项
答案y＝C1e－4x＋C2e3x＋x2＋3x＋2(其中C1，C2为任意常数)
解析 显然λ＝－4是特征方程λ2＋λ＋q＝0的解，故q＝－12，
即特征方程为λ2＋λ－12＝0，特征值为λ1＝4，λ2＝3．
因为x2＋3x＋2为特征方程y’’＋y’－12y＝Q(x)的一个特解，
所以Q(x)＝2＋2x＋3－12(x2＋3x＋2)＝－12x2－34x－19，
且通解为y＝C1e－4x＋C2e3x＋x2＋3x＋2(其中C1，C2为任意常数)．
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考研数学三

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