2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3，证明α1，α2，α3线性无关．

设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3，证明α1，α2，α3线性无关．

admin2019-02-26  58
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3，证明α1，α2，α3线性无关．
选项
答案(用定义) 据已知条件有Aα1=－α1，Aα2=α2，Aα3=α2+α3．设 k1α1+k2α2+k3α3=0， ① 用．A左乘①式的两端，并代入已知条件，有 －k1α1+k2α2+k3(α2+α3)=0． ② ①一②得 2k1α1—k3α2=0． 由于α1，α2是矩阵A不同特征值的特征向量，所以α1，α2线性无关，从而k1=0，k3=0． 将其代入①式得k2α2=0．因为α2是特征向量，必有α20，从而k2=0． 因此，α1，α2，α3线性无关．
解析
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考研数学一

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