设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3，证明α1，α2，α3线性无关．

admin2019-02-26 46

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=α₂+α₃，证明α₁，α₂，α₃线性无关．

选项

答案(用定义) 据已知条件有Aα₁=－α₁，Aα₂=α₂，Aα₃=α₂+α₃．设 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0， ① 用．A左乘①式的两端，并代入已知条件，有－k₁α₁+k₂α₂+k₃(α₂+α₃)=0． ② ①一②得 2k₁α₁—k₃α₂=0．由于α₁，α₂是矩阵A不同特征值的特征向量，所以α₁，α₂线性无关，从而k₁=0，k₃=0．将其代入①式得k₂α₂=0．因为α₂是特征向量，必有α₂0，从而k₂=0．因此，α₁，α₂，α₃线性无关．

解析

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考研数学一

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