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设有向量组(Ⅰ):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,—1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T。试问:当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)等价,当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ
设有向量组(Ⅰ):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,—1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T。试问:当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)等价,当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ
admin
2019-03-23
82
问题
设有向量组(Ⅰ):α
1
=(1,0,2)
T
,α
2
=(1,1,3)
T
,α
3
=(1,—1,a+2)
T
和向量组(Ⅱ):β
1
=(1,2,a+3)
T
,β
2
=(2,1,a+6)
T
,β
3
=(2,1,a+4)
T
。试问:当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)等价,当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价。
选项
答案
令x
j1
α
1
+x
j2
α
2
+x
j3
α
3
=β
j
(j=1,2,3), (1) 对(α
1
,α
2
,α
3
[*]β
1
,β
2
,β
3
)作初等行变换,即 [*] 可见,当a+1≠0,即a≠—1时,(1)中的三个非齐次线性方程组都有解且为唯一解,此时β
1
,β
2
,β
3
都可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,即向量组(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示。 当a+1=0,即a= —1时,由于R(α
1
,α
2
,α
3
)≠R(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
),R(α
1
,α
2
,α
3
)≠R(α
1
,α
2
,α
3
,β
3
),故此时β
1
,β
3
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,即向量组(Ⅱ)不能由(Ⅰ)线性表示。 类似地,令x
i1
β
1
+x
i2
β
2
+x
i3
β
3
=α
i
(i=1,2,3)。(2)对(β
1
,β
2
,β
3
[*]α
1
,α
2
,α
3
)作初等行变换,即 [*] 可见,无论a取何值,总有 R(β
1
,β
2
,β
3
)=R(β
1
,β
2
,β
3
,α
1
,α
2
,α
3
), 即α
1
,α
2
,α
3
都可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,亦即向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示。 综上可知,当a≠—1时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价;当a= —1时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价。
解析
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考研数学二
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