2. 考研
  3. 设有向量组(Ⅰ)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，—1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T。试问：当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ

设有向量组(Ⅰ)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，—1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T。试问：当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ

admin2019-03-23  92
问题 设有向量组(Ⅰ)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，—1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T。试问：当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价。
选项
答案令xj1α1+xj2α2+xj3α3=βj(j=1，2，3)， (1) 对(α1，α2，α3[*]β1，β2，β3)作初等行变换，即 [*] 可见，当a+1≠0，即a≠—1时，(1)中的三个非齐次线性方程组都有解且为唯一解，此时β1，β2，β3都可由α1，α2，α3线性表示，即向量组(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示。 当a+1=0，即a= —1时，由于R(α1，α2，α3)≠R(α1，α2，α3，β1)，R(α1，α2，α3)≠R(α1，α2，α3，β3)，故此时β1，β3不能由α1，α2，α3线性表示，即向量组(Ⅱ)不能由(Ⅰ)线性表示。 类似地，令xi1β1+xi2β2+xi3β3=αi(i=1，2，3)。(2)对(β1，β2，β3[*]α1，α2，α3)作初等行变换，即 [*] 可见，无论a取何值，总有 R(β1，β2，β3)=R(β1，β2，β3，α1，α2，α3)， 即α1，α2，α3都可由β1，β2，β3线性表示，亦即向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示。 综上可知，当a≠—1时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价；当a= —1时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价。
解析
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考研数学二

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