设A为n阶矩阵（n≥2），A*为A的伴随矩阵，证明

admin2017-12-29 39

问题设A为n阶矩阵（n≥2），A^*为A的伴随矩阵，证明

选项

答案（1）当r（A）=n时，|A|≠0，则有|A^*|=|A|^n—1≠0，从而A^*可逆，即r（A^*）=n。（2）当r（A）=n一1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n一1阶子式不为零，即A^*中至少有一个元素不为零，故r（A^*）≥1。又因r（A）=n一1时，有|A|=0，且由AA^*=|A|E知AA^*=0。根据矩阵秩的性质得r（A）+r（A^*）≤n，把r（A）=n一1代入上式，得r（A^*）≤1。综上所述，有r（A^*）=1。（3）当r（A）≤n一2时，A的所有n一1阶子式都为零，也就是A^*的任一元素均为零，即A^*=O，从而r（A^*）=0。

解析

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