设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：∫abf(x)dx｜+∫ab｜f’(x)｜dx．

admin2018-05-22 31

问题设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：

∫_a^bf(x)dx｜+∫_a^b｜f’(x)｜dx．

选项

答案因为f(x)在[a，b]上连续，所以｜f(x)｜在[a，b]上连续，令｜f(c)｜=[*]｜f(x)｜．根据积分中值定理，[*]∫_a^bf(x)dx=f(ξ)，其中ξ∈[a，b]．由积分基本定理，f(c)=f(ξ)+∫f’(x)dx，取绝对值得｜f(c)｜≤｜f(ξ)｜+｜∫^c_ξf’(x)dx｜≤｜f(ξ)｜+∫_a^b｜f’(x)｜dx，即 [*]

解析

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