已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

admin2016-01-11 29

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=4x₂²-3x₃²+4x₁x₂-4x₁x₃+8x₂x₃．
用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

选项

答案矩阵A的特征多项式为[*] 由此得矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=6，λ₃=一6．于是，二次型f可通过正交变换x=Oy化为标准形f=y₁²+6y₂²—6y₃²．对于特征值λ₁=1，由于[*] 故对应于特征值λ₁=1的特征向量可取为ξ₁=(2，0，一1)^T．类似地，对应于特征值λ₁=6，λ₂=-6的特征向量可分别取为 ξ₂=(1，5，2)^T，ξ₃=(1，一1，2)^T．因为A是实对称矩阵，且λ₁，λ₂，λ₃互异，故x₁，x₂，x₃构成正交向量组，将其单位化得[*] 故对二次型f作正交变换[*] 则可将f化为标准形f=y₁²+6y₂²一6y₃²．

解析本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，矩阵特征值、特征向量的求法．先求出二次型f的矩阵A及A的特征值与特征向量，再将特征向量正交单位化，求出正交矩阵，即可把f化为标准形．

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考研数学二

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A=求a，b及可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．

设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：(1)AB=BA：(2)存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角矩阵．

设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．

设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，α1，α2，α3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若α1，A(α1+α2)，A2(α1+α2+α3)线性无关，则λ1，λ2，λ3满足________．

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n．

设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，PTAP为正定矩阵．

设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：ATA的特征值全大于零．

函数y＝在区间[0，2]上的平均值为__________．

心房纤颤发生后至少可使心排血量下降

A、《黄帝内经》B、宋国宾《医业伦理学》C、孙思邈《备急千金要方》D、希波克拉底《希波克拉底誓言》E、帕茨瓦尔《医学伦理学》奠定西方医学人道传统的文献是

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根据《注册建造师管理规定》，注册建造师的下列行为违法的有()。

下列哪一条符合儿童动作发展的规律()

14世纪欧洲学校的课程有算数、几何、天文等，到16世纪增加了地理和力学，17世纪又增加代数、三角、物理和化学等。这说明对教学内容变化产生影响的是()

设矩阵A、B的行数都是m．证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B)．

下列关于世界上第一台电子计算机ENIAC的叙述中，错误的是()。

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HowtoBuildTeamSpiritandGetBestSalesPerformanceA)Itisawell-knownfactthatanorganisationcanachieveagreatersuc

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