已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

admin2016-01-11 23

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=4x₂²-3x₃²+4x₁x₂-4x₁x₃+8x₂x₃．
用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

选项

答案矩阵A的特征多项式为[*] 由此得矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=6，λ₃=一6．于是，二次型f可通过正交变换x=Oy化为标准形f=y₁²+6y₂²—6y₃²．对于特征值λ₁=1，由于[*] 故对应于特征值λ₁=1的特征向量可取为ξ₁=(2，0，一1)^T．类似地，对应于特征值λ₁=6，λ₂=-6的特征向量可分别取为 ξ₂=(1，5，2)^T，ξ₃=(1，一1，2)^T．因为A是实对称矩阵，且λ₁，λ₂，λ₃互异，故x₁，x₂，x₃构成正交向量组，将其单位化得[*] 故对二次型f作正交变换[*] 则可将f化为标准形f=y₁²+6y₂²一6y₃²．

解析本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，矩阵特征值、特征向量的求法．先求出二次型f的矩阵A及A的特征值与特征向量，再将特征向量正交单位化，求出正交矩阵，即可把f化为标准形．

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考研数学二

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设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．

设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：(1)AB=BA：(2)存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角矩阵．

设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．

设A=方程组AX=β有解但不唯一．(1)求a；(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵；(3)求正交矩阵Q。使得QTAQ为对角阵．

设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：ATA的特征值全大于零．

设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则()．

设f(x)在[0，t](t＞0)上有n阶导数且非负，已知f(0)=f’+(0)=f”+(0)=…=f+(n-2)(0)=0，f(n)(x)＞0．(I)求F(t)=∫0tsf(x)dx-t∫0tf(x)dx(n为大于1的正整数)的n阶导数；(Ⅱ)证明：(

设A为3阶实对称矩阵，β=(3，3，3)T，方程组Ax=β的通解为k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T+(1，1，1)T(k1，k2为任意常数)．若α=(1，2，-1)T，求Aα；

设f(x)为连续函数，并设∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．

证券经营机构采用包销方式，若承销团不能全部售出证券，则承销商在承销期结束时可以自行购入售后剩余的证券，也可以不这样。(　　)

根据《企业会计准则第3号——投资性房地产》的相关规定，下列项目中，属于企业投资性房地产的是()。

受审核方指派的向导，不承担()的职责。[2007年真题]

我国根本的政治制度是人民代表大会制度。()

释迦牟尼

求下列积分：

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