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已知二次型f(x1,x2,x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3. 用正交变换把二次型f化为标准形,并求出相应的正交矩阵.
已知二次型f(x1,x2,x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3. 用正交变换把二次型f化为标准形,并求出相应的正交矩阵.
admin
2016-01-11
39
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=4x
2
2
-3x
3
2
+4x
1
x
2
-4x
1
x
3
+8x
2
x
3
.
用正交变换把二次型f化为标准形,并求出相应的正交矩阵.
选项
答案
矩阵A的特征多项式为[*] 由此得矩阵A的特征值为λ
1
=1,λ
2
=6,λ
3
=一6.于是,二次型f可通过正交变换x=Oy化为标准形f=y
1
2
+6y
2
2
—6y
3
2
. 对于特征值λ
1
=1,由于[*] 故对应于特征值λ
1
=1的特征向量可取为ξ
1
=(2,0,一1)
T
. 类似地,对应于特征值λ
1
=6,λ
2
=-6的特征向量可分别取为 ξ
2
=(1,5,2)
T
,ξ
3
=(1,一1,2)
T
. 因为A是实对称矩阵,且λ
1
,λ
2
,λ
3
互异,故x
1
,x
2
,x
3
构成正交向量组,将其单位化得[*] 故对二次型f作正交变换[*] 则可将f化为标准形f=y
1
2
+6y
2
2
一6y
3
2
.
解析
本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法,矩阵特征值、特征向量的求法.先求出二次型f的矩阵A及A的特征值与特征向量,再将特征向量正交单位化,求出正交矩阵,即可把f化为标准形.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fv34777K
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考研数学二
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