已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

admin2016-01-11 39

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=4x₂²-3x₃²+4x₁x₂-4x₁x₃+8x₂x₃．
用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

选项

答案矩阵A的特征多项式为[*] 由此得矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=6，λ₃=一6．于是，二次型f可通过正交变换x=Oy化为标准形f=y₁²+6y₂²—6y₃²．对于特征值λ₁=1，由于[*] 故对应于特征值λ₁=1的特征向量可取为ξ₁=(2，0，一1)^T．类似地，对应于特征值λ₁=6，λ₂=-6的特征向量可分别取为 ξ₂=(1，5，2)^T，ξ₃=(1，一1，2)^T．因为A是实对称矩阵，且λ₁，λ₂，λ₃互异，故x₁，x₂，x₃构成正交向量组，将其单位化得[*] 故对二次型f作正交变换[*] 则可将f化为标准形f=y₁²+6y₂²一6y₃²．

解析本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，矩阵特征值、特征向量的求法．先求出二次型f的矩阵A及A的特征值与特征向量，再将特征向量正交单位化，求出正交矩阵，即可把f化为标准形．

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考研数学二

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设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．

设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：(1)AB=BA：(2)存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角矩阵．

设A=相似于对角矩阵．求：(1)a及可逆矩阵P，使得P-1AP=A，其中A为对角矩阵；(2)A100．

设A为n阶非零矩阵，且A2=A，r(A)=r(0＜r＜n)．求|5E+A|．

设函数f(x)在区间[0，4]上连续，且=0，求证：存在ξε(0，4)使得f(ξ)+f(4-ξ)=0。

设f(x)为连续函数，且ex[1+x+f(x)]存在，则曲线y=f(x)有斜渐近线()

设f(x)在[0，t](t＞0)上有n阶导数且非负，已知f(0)=f’+(0)=f”+(0)=…=f+(n-2)(0)=0，f(n)(x)＞0．(I)求F(t)=∫0tsf(x)dx-t∫0tf(x)dx(n为大于1的正整数)的n阶导数；(Ⅱ)证明：(

设随机变量X的概率密度为，其中a，b为常数．记Φ(x)为N(0，1)的分布函数．若在x=1处f(x)取得最大值，则P{1-＜X＜1+}=()

设A为3阶实对称矩阵，β=(3，3，3)T，方程组Ax=β的通解为k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T+(1，1，1)T(k1，k2为任意常数)．求正交矩阵Q，使得Q-1AQ=A.

设f(u)连续，g(x)=∫01f(tx)dt，且=A(A为常数)，求g’(x)，并讨论g’(x)在x=0处的连续性．

糖原合成的葡萄糖基的直接供体是

子宫颈癌最早出现的症状是

炙甘草汤的组成药物中含有()

A、心与肺B、心与肾C、脾与肾D、肝与肾E、肺与肾上述各项，体现水火既济关系的两脏是

我国的中央银行是()。

一裁终局原则体现了仲裁的()特点。

年应税销售额超过小规模纳税人标准的自然人，应办理一般纳税人资格认定。()

人民警察职业道德中秉公执法的要点是()。

Naturally,inagroupofanimalsasdiverseasthesnakes,andwithsomanyvariedenemies,therearenumerousdefensivereactio

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