2. 考研
  3. (2003年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(χ)＞0．若极限存在．证明： (1)在(a，b)内f(χ)＞0； (2)在(a，b)内存在点ξ，使 (3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点

(2003年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(χ)＞0．若极限存在．证明： (1)在(a，b)内f(χ)＞0； (2)在(a，b)内存在点ξ，使 (3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点

admin2016-05-30  163
问题 (2003年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(χ)＞0．若极限存在．证明：
    (1)在(a，b)内f(χ)＞0；
    (2)在(a，b)内存在点ξ，使
    (3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使f′(η)(b2－a2)＝f(χ)dχ
选项
答案(1)由[*]存在知，[*](2χ－a)＝0，由f(χ)在[a，b]上的连续知，f(a)＝0． 又f′(χ)＞0，则 f(χ)在(a，b)内单调增加，故 f(χ)＞f(χ)＝0， χ∈(a，b) (2)设F(χ)＝χ2，g(χ)＝∫aχf(t)dt (a≤χ≤b) 则g′(χ)＝f(χ)＞0，故F(χ)，g(χ)满足柯希中值定理的条件，于是在(a，b)内存在点ξ，使 [*] (3)在[a，ξ]上对f(χ)用拉格朗日中值定理得，存在η∈(a，ξ)，使 f(ξ)－f(a)＝f′(η)(ξ－a) 即f(ξ)＝f′(η)(ξ－a) 代入(2)中的结论得 [*]
解析
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考研数学二

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