设D是xOy平面上以(1,1),(一1,1)和(一1,一1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则=( ).

admin2021-08-02  35

问题 设D是xOy平面上以(1,1),(一1,1)和(一1,一1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则=(          ).

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案A

解析
积分区域如图1-14-1所示.积分区域既不关于x轴对称,也不关于y轴对称,但题目考查二重积分的对称性,因此可以考虑将积分区域划分为几个关于坐标轴对称的子区域.若记A(1,1),B(一1,1),C(一1,一1),连接BO,记△AOB围成的区域为D1,它关于y轴对称,记其在y轴右侧子区域为D1.由于f(x,y)=x3y+exsiny既非x的奇函数,也非x的偶函数.因此不能在上利用对称性计算二重积分,但x3y为x的奇函数,siny为x的偶函数.因此

若记△BOC围成的区域为,它关于x轴对称,被积函数f(x,y)=x3y+sin y为y的奇函数,因此

可知

故选(A).
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