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  3. 设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，证明：当0＜λ＜1时，必有不等式∫0λf(x)dx≥λ∫01f(x)dx．

设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，证明：当0＜λ＜1时，必有不等式∫0λf(x)dx≥λ∫01f(x)dx．

admin2022-06-04  0
问题 设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，证明：当0＜λ＜1时，必有不等式∫0λf(x)dx≥λ∫01f(x)dx．
选项
答案因f(x)在[0，1]上连续，由积分中值定理，得 ∫0λf(x)dx-λ∫01f(x)dx=(1-λ)∫0λf(x)dx+λ∫0λf(x)dx-λ∫01f(x)dx =(1-λ)∫0λf(x)dx-λ∫λ1f(x)dx =λ(1-λ)f(ξ1)-λ(1-λ)f(ξ2)=λ(1-λ)[f(ξ1)-f(ξ2)] 其中0＜ξ1＜λ＜ξ2＜1．f(x)在[0，1]上单调减少，则f(ξ1)≥f(ξ2)．又λ＞0，1-λ＞0，故∫0λf(x)dx-λ∫01f(x)dx=λ(1-λ)[f(ξ1)-f(ξ2)]＞0．即∫0λf(x)dx≥λ∫01f(x)dx．
解析
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考研数学一

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