设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f′+(a)f′-(b)<0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0.

admin2022-08-19  21

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f′+(a)f′-(b)<0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0.

选项

答案不妨设f′+(a)>0,f′-(b)<0,根据极限的保号性,由f′+(a)=[*]则存在δ>0(δ<b-a),当0<x-a<δ时,[f(x)-f(a)]/(x-a)>0,即f(x)>f(a), 所以存在x1∈(a,b),使得f(x1)>f(a). 同理由f′-(b)<0,存在x2∈(a,b),使得f(x2)>f(b). 因为f(x)在[a,b]上连续,且f(x1)>f(a),f(x2)>f(b),所以f(x)的最大值在(a,b)内取到,即存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)为f(x)在[a,b]上的最大值,故f′(ξ)=0.

解析
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