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  3. 求函数f(x，y)＝xy－4／3x－y在由抛物线y＝4－x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。

求函数f(x，y)＝xy－4／3x－y在由抛物线y＝4－x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。

admin2019-12-24  40
问题 求函数f(x，y)＝xy－4／3x－y在由抛物线y＝4－x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。
选项
答案区域D如图所示。 [*] (1)边界L1：y＝0(0≤x≤2)，此时f(x，0)＝－4／3x，函数在此边界的最大值为f(0，0)＝0，最小值为f(2，0)＝－8／3。 边界L2：x＝0(0≤y≤4))，则f(0，y)＝－y，函数在此边界的最大值为f(0，0)＝0，最小值为f(0，4)＝－4。 边界L3：y＝4－x2(x≥0)，则 f(x，y)＝xy－4／3x－y＝x(4－x2)－4／3x－(4－x2)， 令f’(x)＝－3x2＋2x＋8／3＝0， 解得x＝－2／3(舍去)，x＝4／3，又因为 f’’(x)＝－6x＋2，f’’(4／3)＜0， 故该函数在此边界的最大值为f(4／3，20／9)＝－28／27。 (2)区域D内部f(x，y)＝xy－4／3x－y，则 [*] 解得x＝1，y＝4／3， [*] 故AC－B2＜0，函数在区域D内部不存在极值。 综上所述，函数在区域D上的最大f(0，0)＝0；最小值为f(0，4)＝－4。
解析 先画出区域图形，分别分析三个边界和区域
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考研数学三

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