设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=2．

admin2017-08-28 30

问题设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=

．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=2．

选项

答案先作一个函数P(x)=ax³+bx²+cx+d，使得P(0)=f(0)=1，P’(1)=f’(1)=0， [*] 令g(x)=f(x)一P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c₁∈(0，1)，c₂∈(1，2)，使得g’(c₁)=g’(1)=g’(c₂)=0，又存在d₁∈(c₁，1)，d₂∈(1，c₂)使得g"(d₁)=g"(d₂)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d₁，d₂)[*](0，2)，使得g"(ξ)=0，而g"(x)=f"’(x)一2，所以f"’(ξ)=2．

解析

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