求二元函数F(x，y)=xye-(x2+y2)在区域D={(x，y)︱x≥0，y≥0}上的最大值与最小值。

admin2021-12-09 42

问题求二元函数F(x，y)=xye^-(x²+y²)在区域D={(x，y)︱x≥0，y≥0}上的最大值与最小值。

选项

答案区域D在平面直角坐标系Oxy上的第一象限，区域D有两条边界F₁={(x，0)︳x≥0}与F₂={(0，y)︳y≥0}它们分别是平面直角坐标系Oxy的x轴与y轴的正半轴，在这两条边界上F(x，y)=0，又因[*]，由于当x²+ y²→+∞时，[*]，从而又有[*]，于是[*]，在区域D内，由于[*] 仅有唯一解(x，y)= [*]，这表明F(x，y)在区域D内仅有唯一驻点[*]，在此点处[*]。注意[*]比F(x，y)在D的两条边界上的函数值以及当(x，y)在区域内趋向无限远处函数F(x，y)的极限值都要大，可见[*]是F(x，y)在D上的最大值。又因在D上F(x，y)非负，所以其最小值在x轴与y轴的正半轴上取得，即F(x，y)在D上的最小值为0。

解析

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考研数学三

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