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求二元函数F(x,y)=xye-(x2+y2)在区域D={(x,y)︱x≥0,y≥0}上的最大值与最小值。
求二元函数F(x,y)=xye-(x2+y2)在区域D={(x,y)︱x≥0,y≥0}上的最大值与最小值。
admin
2021-12-09
37
问题
求二元函数F(x,y)=xye
-(x
2
+y
2
)
在区域D={(x,y)︱x≥0,y≥0}上的最大值与最小值。
选项
答案
区域D在平面直角坐标系Oxy上的第一象限,区域D有两条边界F
1
={(x,0)︳x≥0}与F
2
={(0,y)︳y≥0}它们分别是平面直角坐标系Oxy的x轴与y轴的正半轴,在这两条边界上F(x,y)=0,又因[*],由于当x
2
+ y
2
→+∞时,[*],从而又有[*],于是[*],在区域D内,由于[*] 仅有唯一解(x,y)= [*],这表明F(x,y)在区域D内仅有唯一驻点[*],在此点处[*]。 注意[*]比F(x,y)在D的两条边界上的函数值以及当(x,y)在区域内趋向无限远处函数F(x,y)的极限值都要大,可见[*]是F(x,y)在D上的最大值。又因在D上F(x,y)非负,所以其最小值在x轴与y轴的正半轴上取得,即F(x,y)在D上的最小值为0。
解析
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考研数学三
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