2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上可导，f’(x)+[f(x)]2一∫0xf(t)dt=0，且∫abf(t)dt=0。证明： ∫axf(t)dt在(a，b)内恒为零。

设f(x)在[a，b]上可导，f’(x)+[f(x)]2一∫0xf(t)dt=0，且∫abf(t)dt=0。证明： ∫axf(t)dt在(a，b)内恒为零。

admin2018-12-19  24
问题 设f(x)在[a，b]上可导，f’(x)+[f(x)]2一∫0xf(t)dt=0，且∫abf(t)dt=0。证明：
∫axf(t)dt在(a，b)内恒为零。
选项
答案若F(x)在(a，b)内可取正值，由于F(a)=F(b)=0，故F(x)在(a，b)内存在最大值且为正，从而知F(x)在(a，b)内存在正的极大值，与上题中的结论矛盾，故F(x)在(a，b)内不可能取正值。同理可证F(x)在(a，b)内也不可能取到负值，故F(x)在(a，b)内恒为零。
解析
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考研数学二

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