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设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,求: (1)α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.
设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,求: (1)α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.
admin
2020-06-05
32
问题
设向量组α
1
,α
2
,α
3
线性相关,向量组α
2
,α
3
,α
4
线性无关,求:
(1)α
1
能否由α
2
,α
3
线性表示?证明你的结论.
(2)α
4
能否由α
1
,α
2
,α
3
线性表示?证明你的结论.
选项
答案
(1)α
1
能由α
2
,α
3
线性表示. 方法一 因为已知向量组α
2
.α
3
,α
4
线性无关,则它的部分组α
2
,α
3
线性无关,又因为α
1
,α
2
,α
3
线性相关,故α
1
能由α
2
,α
3
线性表示. 方法二 因为向量组α
1
,α
2
,α
3
线性相关,故存在不全为零的数k
1
,k
2
,k
3
,使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0,其中必有k
1
≠0.否则,若k
1
=0,则k
2
,k
3
不全为零,使k
2
α
2
+k
3
α
3
=0.即α
2
,α
3
线性相关,进而向量组α
2
,α
3
,α
4
线性相关,与已知矛盾.于是k
1
≠0.因此有 [*] 即α
1
可由α
2
,α
3
线性表示. (2)α
4
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示. 方法一 若α
4
能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,不妨设 α
4
=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
由(1)知α
1
能由α
2
,α
3
线性表示,不妨设α
1
=l
2
α
2
+l
3
α
3
,代入上式整理,得到 α
14
=(k
1
l
2
++k
2
)α
2
+(k
1
l
3
+k
3
)α
3
即α
4
可由α
2
,α
3
线性表示,从而α
2
,α
3
,α
4
线性相关,与已知矛盾.因此,α
4
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示. 方法二 因为α
1
,α
2
,α
3
线性相关,R(α
1
,α
2
,α
3
)﹤3.又因α
2
,α
3
,α
4
线性无关,所以R(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)≥3.因此R(α
1
,α
2
,α
3
)﹤R(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),进而α
4
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
解析
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考研数学一
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