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  3. 设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，求： (1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．

设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，求： (1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．

admin2020-06-05  24
问题 设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，求：
(1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论．
(2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．
选项
答案(1)α1能由α2，α3线性表示． 方法一 因为已知向量组α2．α3，α4线性无关，则它的部分组α2，α3线性无关，又因为α1，α2，α3线性相关，故α1能由α2，α3线性表示． 方法二 因为向量组α1,α2，α3线性相关，故存在不全为零的数k1，k2，k3，使得k1α1＋k2α2＋k3α3＝0，其中必有k1≠0．否则，若k1＝0，则k2，k3不全为零，使k2α2＋k3α3＝0．即α2，α3线性相关，进而向量组α2，α3，α4线性相关，与已知矛盾．于是k1≠0．因此有 [*] 即α1可由α2，α3线性表示． (2)α4不能由α1，α2，α3线性表示． 方法一 若α4能由α1，α2，α3线性表示，不妨设 α4＝k1α1＋k2α2＋k3α3 由(1)知α1能由α2，α3线性表示，不妨设α1＝l2α2＋l3α3，代入上式整理，得到 α14＝(k1l2+＋k2)α2＋(k1l3＋k3)α3 即α4可由α2，α3线性表示，从而α2，α3，α4线性相关，与已知矛盾．因此，α4不能由α1，α2，α3线性表示． 方法二 因为α1，α2，α3线性相关，R(α1，α2，α3)﹤3．又因α2，α3，α4线性无关，所以R(α1，α2，α3，α4)≥3．因此R(α1，α2，α3)﹤R(α1，α2，α3，α4)，进而α4不能由α1，α2，α3线性表示．
解析
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考研数学一

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