2. 考研
  3. [2009年] 若二阶常系数线性齐次微分方程y＂+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y＂+ay′+by=x满足条件y(0)=2，y′(0)=0的解y=_______．

[2009年] 若二阶常系数线性齐次微分方程y＂+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y＂+ay′+by=x满足条件y(0)=2，y′(0)=0的解y=_______．

admin2021-01-19  55
问题 [2009年]  若二阶常系数线性齐次微分方程y＂+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y＂+ay′+by=x满足条件y(0)=2，y′(0)=0的解y=_______．
选项
答案 先由通解可得其特征值r1=r2=1，从而构造出特征方程，求出二阶常系数线性齐次方程，于是可求出a，b，然后解二阶非齐次方程． 由二阶常系数线性齐次微分方程的通解y=(C1+C2x)ex知，二阶常系数线性齐次微分方程y＂+ay′+by=0的特征值是r1=r2=1．因而特征方程为(r－1)2=r2－2r+1=0， 二阶常系数线性齐次微分方程为y＂一2y′+y=0，故a=一2，b=1．因而非齐次方程为y＂一2y′+y=x．下面求非齐次方程 y＂一2y′+y=x ① 的特解．由题设条件知，其特解形式为y*=Ax+B．代入方程①得到(y*)＂=0，(y*)′=A， 于是有 一2A+Ax+B=x， 即(A一1)x－2A+B=0， 所以A－1=0，B一2A=0，则A=1，B=2．于是一特解为y*=x+2．非齐次方程的通解为 y=(C1+C2x)ex+x+2， ② 将y(0)=2，y′(0)=2代入方程②得C1=0，C2=一1，所以满足初始条件的解为 y=xex+x+2．
解析
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考研数学二

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