设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则( )

admin2021-01-19 70

问题设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则( )

选项 A、r(A，AB)=r(A)
B、r(A，BA)=r(A)
C、r(A，B)=max{r(A)，r(B)}
D、r(A，B)=r(A^T，B^T)

答案A

解析解这道题的关键，要熟悉以下两个不等关系．
  ①r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；  ②r(A，B)≥max{r(A)，r(B)}．
  由r(E，B)=n，可知r(A，AB)=r(A(E，B))≤min{r(A)，r(E，B)}=r(A)．
  又r(A，AB)≥max{r(A)，r(AB)}，r(AB)≤r(A)，可知r(A，AB)≥r(A)．
  从而可得r(A，AB)=r(A)．

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