2. 考研
  3. 设(I)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足0≤f(x)≤ex－1； (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex－1分别交于点P2和P1； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P1P2之

设(I)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足0≤f(x)≤ex－1； (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex－1分别交于点P2和P1； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P1P2之

admin2019-02-20  129
问题 设(I)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足0≤f(x)≤ex－1；
    (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex－1分别交于点P2和P1；
    (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P1P2之长．
    求函数f(x)的表达式．
选项
答案如图6．1，设动直线MN上各点的横坐标为x，由题设知 [*]|P1P2|=ex－1－f(x)． [*] 于是，函数f(x)满足方程[*] 由f(x)及ex连续知变上限定积分[*]可导，从而f(x)可导．将上述方程两端对x求导并令x=0，得 f(x)=ex－f’(x)，f(0)=0(与题设一致) 又因f(0)=0，于是f(x)是一阶线性方程y’+y=ex满足初始条件y(0)=0的特解．解之即得 [*]
解析
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考研数学三

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