设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界．证明：微分方程y’+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．

admin2018-09-20 51

问题设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界．证明：微分方程y’+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．

选项

答案原方程的通解为 y(x)=e^ax[C+∫₀^xf(t)e^atdt]，设f(x)在[0，+∞)上的上界为M，即|f(x)|≤M，则当x≥0时，有 |y(x)|=|e^-ax[C+∫₀^xf(t)e^atdt]| ≤|Ce^-ax|+e^-ax|∫₀^xf(t)e^atdt| ≤|C|+Me^-ax∫₀^xe^atdt [*] 即y(x)在[0，+∞)上有界．

解析

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