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设A是n阶反对称矩阵， (Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵； (Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子； (Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么—λ也必是A的特征值．
设A是n阶反对称矩阵， (Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵； (Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子； (Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么—λ也必是A的特征值．
admin
2022-04-08
37
问题
设A是n阶反对称矩阵，
(Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A
*
是对称矩阵；
(Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子；
(Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么—λ也必是A的特征值．
选项
答案
(Ⅰ)按反对称矩阵定义：A
T
=一A，那么 ｜A｜=｜A
T
｜=｜—A｜=(—1)
n
｜A｜，即[1—(—1)
n
]｜A｜=0． 若n=2k+1，必有｜A｜=0．所以A可逆的必要条件是n为偶数． 因A
T
=一A，由(A
*
)
T
=(A
T
)
*
有 (A
*
)
T
=(A
T
)
*
=(一A)
*
． 又因(kA)
*
=k
n—1
A
*
，故当n=2k+1时，有 (A
*
)
T
=(—1)
2k
A
*
=A
*
， 即A
*
是对称矩阵． (Ⅱ)例如，A=[*]是4阶反对称矩阵，且不可逆． (Ⅲ)若λ是A的特征值，有f λE—A J=0，那么 ｜—λE—A｜=｜(一λE—A)
T
｜=｜—λE—A
T
｜=｜—λE+A｜ =｜一(λE—A)｜=(一1)
n
｜λE—A｜=0， 所以一λ是A的特征值．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DBf4777K
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考研数学二
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