设A是n阶反对称矩阵， (Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵； (Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子； (Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么—λ也必是A的特征值．

admin2022-04-08 65

问题设A是n阶反对称矩阵，
(Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A^*是对称矩阵；
(Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子；
(Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么—λ也必是A的特征值．

选项

答案(Ⅰ)按反对称矩阵定义：A^T=一A，那么｜A｜=｜A^T｜=｜—A｜=(—1)ⁿ｜A｜，即[1—(—1)ⁿ]｜A｜=0．若n=2k+1，必有｜A｜=0．所以A可逆的必要条件是n为偶数．因A^T=一A，由(A^*)^T=(A^T)^*有 (A^*)^T=(A^T)^*=(一A)^*．又因(kA)^*=k^n—1A^*，故当n=2k+1时，有 (A^*)^T=(—1)^2kA^*=A^*，即A^*是对称矩阵． (Ⅱ)例如，A=[*]是4阶反对称矩阵，且不可逆． (Ⅲ)若λ是A的特征值，有f λE—A J=0，那么｜—λE—A｜=｜(一λE—A)^T｜=｜—λE—A^T｜=｜—λE+A｜ =｜一(λE—A)｜=(一1)ⁿ｜λE—A｜=0，所以一λ是A的特征值．

解析

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考研数学二

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设A是n阶反对称矩阵， (Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵； (Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子； (Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么—λ也必是A的特征值．

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