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  3. 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组( )

已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组( )

admin2019-12-26  12
问题 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组(    )
选项 A、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关．
B、α1一α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1线性无关．
C、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4一α1线性无关．
D、α1+α2，α2+α3，α3一α4，α4-α1线性无关．
答案C
解析 由于(α1+α2)－(α2+α3)+(α3+α4)－(α4+α1)=0，所以选项(A)不正确．
    由于(α1－α2)+(α2－α3)+(α3－α4)+(α4－α1)=0，所以选项(B)不正确．
    由于(α1+α2)－(α2+α3)+(α3－α4)+(α4－α1)=0，所以选项(D)不正确．
    由排除法知选项(C)正确，事实上，若设有数k1，k2，k3，k4，使
            k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4－α1)=0，
即(k1－k4)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4=0．
    由于向量组α1，α2，α3，α4线性无关，从而
      
于是k1=k2=k3=k4=0，所以向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4－α1线性无关．故应选(C)．
    本题也可以这样分析．首先有如下命题：
    设向量组α1，α2，α3，α4线性无关，向量组β1，β2，β3，β4可由向量组α1，α2，α3，α4线性表示，且(β1，β2，
β3，β4)=(α1，α2，α3，α4)C，则向量组β1，β2，β3，β4线性无关的充分必要条件是|C|≠0．
    证明：若向量组β1，β2，β3，β4线性无关，则
                 4=r(β1，β2，β3，β4)=r[(α1，α2，α3，α4)C]≤r(C)，
于是r(C)=4．矩阵C可逆，|C|≠0．
    反之，若|C|≠0，矩阵C可逆，则有
            (β1，β2，β3，β4)C－1=(α1，α2，α3，α4)，
于是    4=r(α1，α2，α3，α4)=r[(β1，β2，β3，β4)C-1]≤r(β1，β2，β3，β4)，
故r(β1，β2，β3，β4)=4，向量组β1，β2，β3，β4线性无关．
    利用上述命题可以很快进行判断，由于
  
而
  
所以选项(C)的向量组线性无关，选项(D)的向量组线性相关．
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考研数学三

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