设四元齐次线性方程组 求: (Ⅰ)方程组(1)与(2)的基础解系; (Ⅱ)(1)与(2)的公共解。

admin2017-12-29  28

问题 设四元齐次线性方程组

求:
(Ⅰ)方程组(1)与(2)的基础解系;
(Ⅱ)(1)与(2)的公共解。

选项

答案(Ⅰ)求方程组(1)的基础解系: 对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换 [*] 分别取[*]其基础解系可取为 [*] 求方程(2)的基础解系: 对方程组(2)的系数矩阵作初等行变换 [*] 分别取[*]其基础解系可取为 [*] (Ⅱ)设x=(x1,x2,x3,x4T为(1)与(2)的公共解,用两种方法求x的一般表达式:x是(1)与(2)的公共解,因此z是方程组(3)的解,方程组(3)为(1)与(2)合并的方程组,即 [*] 其系数矩阵 [*] 取其基础解系为(一1,1,2,1)T,于是(1)与(2)的公共解为 x=k(一1,1,2,1)T,k∈R。 将(1)的通解x=(c1,一c1,c2,一c1T代入(2)得c2=一2c1,这表明(1)的解中所有形如(c1,一c1,一2c1,一c1T的解也是(2)的解,从而是(1)与(2)的公共解。因此(1)与(2)的公共解为x=k(一1,1,2,1)T,k∈R。

解析
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