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设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(1)Ax=0和(2)ATAx=0，必有( )
设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(1)Ax=0和(2)ATAx=0，必有( )
admin
2018-12-29
43
问题
设A为n阶矩阵，A
T
是A的转置矩阵，对于线性方程组(1)Ax=0和(2)A
T
Ax=0，必有( )
选项
A、(1)的解是(2)的解，(2)的解也是(1)的解。
B、(1)的解是(2)的解，(2)的解不是(1)的解。
C、(2)的解是(1)的解，(1)的解不是(2)的解。
D、(2)的解不是(1)的解，(1)的解也不是(2)的解。
答案
A
解析
如果α是(1)的解，有Aα=0，可得A
T
Aα=A
T
(Aα)=A
T
0=0，即α是(2)的解。故(1)的解必是(2)的解。
反之，若α是(2)的解，有A
T
Aα=0，用α
T
左乘可得
0=α
T
0=α
T
(A
T
Aα)=(α
T
A
T
)(Aα)=(Aα)
T
(Aα)，
若设Aα=(b
1
，b
2
，…，b
n
)，那么
(Aα)
T
(Aα) =b
1
2
+b
2
2
+ … +b
n
2
=0
b
i
=0(i=1，2，…，n)，
即Aα=0，说明α是(1)的解。因此(2)的解也必是(1)的解，故选A。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DWM4777K
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考研数学一
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