[2015年] 设函数y=y(x)是微分方程y"+y’－2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=_______．

admin2019-03-30 69

问题 [2015年] 设函数y=y(x)是微分方程y"+y’－2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=_______．

选项

答案e^－2x+2e^x

解析易知所给方程的特征方程为r²+r－2=(r+2)(r－1)=0，故特征根为r₁=－2，
r₂=1，故其通解为y=C₁e^－2x+C₂ e^x ①
因y(x)在x=0处取得极值，故y’(0)=0，y(0)=3．将其代入通解①得到
y’(x)｜_x=0=[－2C₁ e^－2x+C₂e^x]｜_x=0=－2C₁+C₂=0，y(0)=C₁+C₂=3．
解之得C₁=1，C₂=2，故y=e^－2x+2e^x．

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