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设向量组α1=(a,0,10)T,α2=(一2,1,5)T,α3=(一1,1,4)T,β=(1,b,c)T,试问:当a,b,c满足什么条件时, (Ⅰ)β可由α1,α2,α3线性表出,且表示唯一; (Ⅱ)β不可由α1,α2,α3线性表出; (Ⅲ)β可由α1,
设向量组α1=(a,0,10)T,α2=(一2,1,5)T,α3=(一1,1,4)T,β=(1,b,c)T,试问:当a,b,c满足什么条件时, (Ⅰ)β可由α1,α2,α3线性表出,且表示唯一; (Ⅱ)β不可由α1,α2,α3线性表出; (Ⅲ)β可由α1,
admin
2017-12-29
93
问题
设向量组α
1
=(a,0,10)
T
,α
2
=(一2,1,5)
T
,α
3
=(一1,1,4)
T
,β=(1,b,c)
T
,试问:当a,b,c满足什么条件时,
(Ⅰ)β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,且表示唯一;
(Ⅱ)β不可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出;
(Ⅲ)β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,但表示不唯一,求出一般表达式。
选项
答案
考虑线性方程组 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=β, (1)记其系数矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
)。对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换,即 [*] (Ⅰ)当a≠一10时,r(A)=r(A,β)=3,此时方程组(1)有唯一解,β可由α
1
,α
2
,α
3
唯一地线性表出。 (Ⅱ)当a=一10,且c≠3b一1时, [*] 可知r(A)≠r(A,β),此时方程组(1)无解,β不可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出。 (Ⅲ)当a=一10,且c=3b一1时, [*] 可知r(A)=r(A,β)=2,此时方程组(1)有无穷多解,其全部解为 k
1
=[*]k
2
=l,k
3
=b一l,其中l为任意常数。 β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,但表示不唯一,其一般表达式为 [*]α
1
+lα
2
+(b一l)α
3
,其中l为任意常数。
解析
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考研数学三
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