2. 考研
  3. 设向量组α1=（a，0，10）T，α2=（一2，1，5）T，α3=（一1，1，4）T，β=（1，b，c）T，试问：当a，b，c满足什么条件时， （Ⅰ）β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一； （Ⅱ）β不可由α1，α2，α3线性表出； （Ⅲ）β可由α1，

设向量组α1=（a，0，10）T，α2=（一2，1，5）T，α3=（一1，1，4）T，β=（1，b，c）T，试问：当a，b，c满足什么条件时， （Ⅰ）β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一； （Ⅱ）β不可由α1，α2，α3线性表出； （Ⅲ）β可由α1，

admin2017-12-29  29
问题 设向量组α1=（a，0，10）T，α2=（一2，1，5）T，α3=（一1，1，4）T，β=（1，b，c）T，试问：当a，b，c满足什么条件时，
（Ⅰ）β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一；
（Ⅱ）β不可由α1，α2，α3线性表出；
（Ⅲ）β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。
选项
答案考虑线性方程组 k1α1+k2α2+k3α3=β， （1）记其系数矩阵A=（α1，α2，α3）。对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换，即 [*] （Ⅰ）当a≠一10时，r（A）=r（A，β）=3，此时方程组（1）有唯一解，β可由α1，α2，α3唯一地线性表出。 （Ⅱ）当a=一10，且c≠3b一1时， [*] 可知r（A）≠r（A，β），此时方程组（1）无解，β不可由α1，α2，α3线性表出。 （Ⅲ）当a=一10，且c=3b一1时， [*] 可知r（A）=r（A，β）=2，此时方程组（1）有无穷多解，其全部解为 k1=[*]k2=l，k3=b一l，其中l为任意常数。 β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一，其一般表达式为 [*]α1+lα2+（b一l）α3，其中l为任意常数。
解析
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考研数学三

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