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  3. 设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使Am=O，证明：A必不相似于对角矩阵．

设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使Am=O，证明：A必不相似于对角矩阵．

admin2021-11-09  53
问题 设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使Am=O，证明：A必不相似于对角矩阵．
选项
答案可用反证法：设λ为A的任一特征值，x为对应的特征向量，则有Ax=λx，[*]A2x=λAx=λ2x，…，[*]Amx=λmx，困Am=O，x≠0，得λ=0．故A的特征值都是零，因此，若A可相似对角化，即存在可逆矩阵P，使P-1AP=diag(0，0，…，0)=O，则A=POP-1=O，这与A≠0矛盾．
解析
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考研数学二

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