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设n阶矩阵A≠0,存在某正整数m,使Am=O,证明:A必不相似于对角矩阵.
设n阶矩阵A≠0,存在某正整数m,使Am=O,证明:A必不相似于对角矩阵.
admin
2021-11-09
79
问题
设n阶矩阵A≠0,存在某正整数m,使A
m
=O,证明:A必不相似于对角矩阵.
选项
答案
可用反证法:设λ为A的任一特征值,x为对应的特征向量,则有Ax=λx,[*]A
2
x=λAx=λ
2
x,…,[*]A
m
x=λ
m
x,困A
m
=O,x≠0,得λ=0.故A的特征值都是零,因此,若A可相似对角化,即存在可逆矩阵P,使P
-1
AP=diag(0,0,…,0)=O,则A=POP
-1
=O,这与A≠0矛盾.
解析
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考研数学二
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