[2011年] (I)证明对任意的正整数都有成立； (Ⅱ)设(n=1，2，…)，证明数列{an}收敛．[img][/img]

admin2021-01-15 10

问题 [2011年] (I)证明对任意的正整数都有

成立；
(Ⅱ)设

(n=1，2，…)，证明数列{a_n}收敛．[img][/img]

选项

答案(I)利用拉格朗日中值定理证之．令f(x)=ln(1+x)，则f(0)=0，对f(x)在闭区间．[0，1／n]上使用拉格朗日中值定理，得到 [*] 即 [*] 因[*]，则[*]于是 [*] 即[*] (Ⅱ)下证数列{a_n}单调下降且有下界．由上题知的结论有[*]，于是令n=2，3，…，n，得到 ln2一ln1＜1，ln3一ln2＜1／2，ln4一ln3＜1／3，…，ln(n+1)一lnn＜1／n．将上述各不等式相加，得到ln(1+n)＜1+1／2+1／3+…+1／n．于是[*]．即{a_n}有下界．下再证{a_n}单调减少，为此证a_n—a_n+1＞0．事实上．有 [*] 综上可知，{a_n}为单调有界数列，利用数列极限存在准则，得到数列{a_n}收敛．

解析

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考研数学一

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