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[2011年] (I)证明对任意的正整数都有成立； (Ⅱ)设(n=1，2，…)，证明数列{an}收敛．[img][/img]

admin2021-01-15  16
问题 [2011年]   (I)证明对任意的正整数都有成立；
(Ⅱ)设(n=1，2，…)，证明数列{an}收敛．[img][/img]
选项
答案(I)利用拉格朗日中值定理证之．令f(x)=ln(1+x)，则f(0)=0，对f(x)在闭区间．[0，1／n]上使用拉格朗日中值定理，得到 [*] 即 [*] 因[*]， 则[*]于是 [*] 即[*] (Ⅱ)下证数列{an}单调下降且有下界． 由上题知的结论有[*]，于是令n=2，3，…，n，得到 ln2一ln1＜1，ln3一ln2＜1／2，ln4一ln3＜1／3，…，ln(n+1)一lnn＜1／n． 将上述各不等式相加，得到ln(1+n)＜1+1／2+1／3+…+1／n． 于是[*]．即{an}有下界． 下再证{an}单调减少，为此证an—an+1＞0．事实上．有 [*] 综上可知，{an}为单调有界数列，利用数列极限存在准则，得到数列{an}收敛．
解析
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考研数学一

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