2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt．证明：∫ab xf(x)dx≤∫ab xg(x)dx．

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt．证明：∫ab xf(x)dx≤∫ab xg(x)dx．

admin2015-07-22  29
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt．证明：∫ab xf(x)dx≤∫ab xg(x)dx．
选项
答案当x∈[a，b)时， ∫axf(t)dt≥∫ax g(t)[*]∫ax[f(t)一g(t)]dt≥0， ∫ab f(t)dt=∫ab g(t)[*]∫ab[f(t)一g(t)]dt=0， ∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx [*] ∫abx[f(x)一g(x)]dx≤0， 令G(x)=∫ax[f(t)一g(t)]dt，则G’(x)=f(x)一g(x)，于是 ∫abx[f(x)一g(x)]dx=∫abxd(∫ax[f(x)一g(t)]dt) ∫abx[f(x)一 g(x) ]dx =∫ab xd (∫ax[f(t)一 g(t) dt) [*] x∫ax[f(t)一g(t)dt]|ab-∫ab[∫ax(f(t)-g(t))dt]dx =-∫ab[∫ax(f(t))-g(t)dt]dt≤0(因为G(x)一∫ax[f(t)-g(t)]dt≥0)， 即 ∫ab x[f(x)一g(x)]dx≤0，即∫ab xf(x)dx≤∫ab xg(x)dx．
解析
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考研数学三

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