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设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b),∫abf(t)dt=∫abg(t)dt.证明:∫ab xf(x)dx≤∫ab xg(x)dx.
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b),∫abf(t)dt=∫abg(t)dt.证明:∫ab xf(x)dx≤∫ab xg(x)dx.
admin
2015-07-22
57
问题
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足∫
a
x
f(t)dt≥∫
a
x
g(t)dt,x∈[a,b),∫
a
b
f(t)dt=∫
a
b
g(t)dt.证明:∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx.
选项
答案
当x∈[a,b)时, ∫
a
x
f(t)dt≥∫
a
x
g(t)[*]∫
a
x
[f(t)一g(t)]dt≥0, ∫
a
b
f(t)dt=∫
a
b
g(t)[*]∫
a
b
[f(t)一g(t)]dt=0, ∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx [*] ∫
a
b
x[f(x)一g(x)]dx≤0, 令G(x)=∫
a
x
[f(t)一g(t)]dt,则G’(x)=f(x)一g(x),于是 ∫
a
b
x[f(x)一g(x)]dx=∫
a
b
xd(∫
a
x
[f(x)一g(t)]dt) ∫
a
b
x[f(x)一 g(x) ]dx =∫
a
b
xd (∫
a
x
[f(t)一 g(t) dt) [*] x∫
a
x
[f(t)一g(t)dt]|
a
b
-∫
a
b
[∫
a
x
(f(t)-g(t))dt]dx =-∫
a
b
[∫
a
x
(f(t))-g(t)dt]dt≤0(因为G(x)一∫
a
x
[f(t)-g(t)]dt≥0), 即 ∫
a
b
x[f(x)一g(x)]dx≤0,即∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx.
解析
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考研数学三
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