2. 考研
  3. 已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，满足Aα1=一α1一3α2—3α3， Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3． (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求矩阵A的特征向量； (Ⅲ)求矩阵A*

已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，满足Aα1=一α1一3α2—3α3， Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3． (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求矩阵A的特征向量； (Ⅲ)求矩阵A*

admin2020-07-03  13
问题 已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，满足Aα1=一α1一3α2—3α3，
    Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3．
    (Ⅰ)求矩阵A的特征值；
    (Ⅱ)求矩阵A的特征向量；
    (Ⅲ)求矩阵A*一6E的秩．
选项
答案(Ⅰ)据已知条件，有 A(α1，α2，α3)=(一α1—3α2—3α3，4α1+4α2+α3，一2α1+α3) =(α1，α2，α3)[*] 记B=[*]及P1=(α1，α2，α3)，那么由α1，α2，α3线性无关知矩阵P1可逆，且P1—1AP1=B，即A与B相似． 由矩阵B的特征多项式 [*] 得矩阵B的特征值是1，2，3．从而知矩阵A的特征值是1，2，3． (Ⅱ)由(E一B)x=0得基础解系β1=(1，1，1)T，即矩阵B属于特征值λ=1的特征向量，由(2E—B)x=0得基础解系β2=(2，3，3)T，即矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，由(3E—B)x=0得基础解系β3=(1，3，4)T，即矩阵B属于特征值λ=3的特征向量，那么令P2=(β1，β2，β3)，则有P2—1BP2=[*]．于是令 P=P1P2=(α1，α2，α3)[*] =(α1+α2+α3，2α1+3α2+3α3，α1+3α2+4α3)， 则有p—1AP=(P1P2)—1A(P1P2)=P2—1(P1—1AP1)P2=P2—1BP2=[*] 所以矩阵A属于特征值1，2，3的线性无关的特征向量依次为 k1(α1，α2，α3)，k2(2α1+3α2+3α3)，k3(α1+3α2+4α3)，ki≠0(i=1，2，3)． [*]
解析
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考研数学二

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