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已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,满足Aα1=一α1一3α2—3α3, Aα2=4α1+4α2+α3,Aα3=一2α1+3α3. (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求矩阵A的特征向量; (Ⅲ)求矩阵A*
已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,满足Aα1=一α1一3α2—3α3, Aα2=4α1+4α2+α3,Aα3=一2α1+3α3. (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求矩阵A的特征向量; (Ⅲ)求矩阵A*
admin
2020-07-03
22
问题
已知A是3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量,满足Aα
1
=一α
1
一3α
2
—3α
3
,
Aα
2
=4α
1
+4α
2
+α
3
,Aα
3
=一2α
1
+3α
3
.
(Ⅰ)求矩阵A的特征值;
(Ⅱ)求矩阵A的特征向量;
(Ⅲ)求矩阵A
*
一6E的秩.
选项
答案
(Ⅰ)据已知条件,有 A(α
1
,α
2
,α
3
)=(一α
1
—3α
2
—3α
3
,4α
1
+4α
2
+α
3
,一2α
1
+α
3
) =(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 记B=[*]及P
1
=(α
1
,α
2
,α
3
),那么由α
1
,α
2
,α
3
线性无关知矩阵P
1
可逆,且P
1
—1
AP
1
=B,即A与B相似. 由矩阵B的特征多项式 [*] 得矩阵B的特征值是1,2,3.从而知矩阵A的特征值是1,2,3. (Ⅱ)由(E一B)x=0得基础解系β
1
=(1,1,1)
T
,即矩阵B属于特征值λ=1的特征向量,由(2E—B)x=0得基础解系β
2
=(2,3,3)
T
,即矩阵B属于特征值λ=2的特征向量,由(3E—B)x=0得基础解系β
3
=(1,3,4)
T
,即矩阵B属于特征值λ=3的特征向量,那么令P
2
=(β
1
,β
2
,β
3
),则有P
2
—1
BP
2
=[*].于是令 P=P
1
P
2
=(α
1
,α
2
,α
3
)[*] =(α
1
+α
2
+α
3
,2α
1
+3α
2
+3α
3
,α
1
+3α
2
+4α
3
), 则有p—1AP=(P
1
P
2
)
—1
A(P
1
P
2
)=P
2
—1
(P
1
—1
AP
1
)P
2
=P
2
—1
BP
2
=[*] 所以矩阵A属于特征值1,2,3的线性无关的特征向量依次为 k
1
(α
1
,α
2
,α
3
),k
2
(2α
1
+3α
2
+3α
3
),k
3
(α
1
+3α
2
+4α
3
),k
i
≠0(i=1,2,3). [*]
解析
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考研数学二
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