设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

admin2021-02-25 97

问题设α₁，α₂，…，α_s均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

选项 A、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关
B、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关
C、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关
D、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关

答案A

解析本题考查矩阵的乘法和向量组线性相关性．可用定义分析：λ₁α₁+₂α₂+…+_sα_s=0中，若存在λ₁，λ₂，…，λ_s是一组不全为零数时，向量组α₁，α₂，…，α_s是线性相关的；若只有当λ₁，λ₂，…，λ_s都为零数时，向量组α₁，α₂，…，α_s是线性无关的．也可用向量组的秩分析：向量组线性相关的充分必要条件是其秩小于向量组中向量的个数．
若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，使
k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0，
在等式的两端左乘矩阵A得
k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s=A(k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s)=A0=0
由于k₁，k₂，…，k_s不全为零，故Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．所以A选项正确，B不正确．
设α₁，α₂，…，α_s线性无关，若m=n，且A=E，则Aα₁，Aα₂，…，A_s线性无关．所以C不正确．若A=O，则Aα₁，
Aα₂，…，Aα_s线性相关．所以D不正确．故选A．
本题也可以用秩分析．由于(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)=A(α₁，α₂，…，α_s)，所以
r(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)=r[A(α₁，α₂，…，α_s)]≤r(α₁，α₂，…，α_s)．
若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则r(α₁，α₂，…，α_s)＜s．于是r(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)＜s．故Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．
故选项(A)正确．
注：要确定结论正确，则要求在任意情况下结论都正确，取特殊的正确，则不能确定结论正确．要确定结论不正确，只需取一种特殊情况，结论不正确，即可否定．则
x₁(α₁+α₂)+x₂(α₂+α₃)+…+x_s(α_s+α₁)=0，
即
(x₁+x_s)α₁+(x₁+x₂)α₂+…+(x_s-1+x_s)α_s=0，
由于α₁，α₂，…，α_s线性无关，所以

方程组的系数行列式为

当s为奇数时，D=2≠0，方程组只有零解，所以x₁=0，x₂=0，…，x_s=0，此时向量组β₁，β₂，…，β_s线性无关．当s为偶数时，D=0，方程组有非零解，即有不全为零的k₁，k₂，…，k_s使得k₁β₁+k₂β₂+…+k_sβ_s=0，故向量组β₁，β₂，…，β_s线性相关．

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