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设α1,α2,…,αs均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是( )
设α1,α2,…,αs均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是( )
admin
2021-02-25
72
问题
设α
1
,α
2
,…,α
s
均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是( )
选项
A、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关
B、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性无关
C、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关
D、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性无关
答案
A
解析
本题考查矩阵的乘法和向量组线性相关性.可用定义分析:λ
1
α
1
+
2
α
2
+…+
s
α
s
=0中,若存在λ
1
,λ
2
,…,λ
s
是一组不全为零数时,向量组α
1
,α
2
,…,α
s
是线性相关的;若只有当λ
1
,λ
2
,…,λ
s
都为零数时,向量组α
1
,α
2
,…,α
s
是线性无关的.也可用向量组的秩分析:向量组线性相关的充分必要条件是其秩小于向量组中向量的个数.
若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则存在不全为零的数k
1
,k
2
,…,k
s
,使
k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0,
在等式的两端左乘矩阵A得
k
1
Aα
1
+k
2
Aα
2
+…+k
s
Aα
s
=A(k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
)=A0=0
由于k
1
,k
2
,…,k
s
不全为零,故Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.所以A选项正确,B不正确.
设α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,若m=n,且A=E,则Aα
1
,Aα
2
,…,A
s
线性无关.所以C不正确.若A=O,则Aα
1
,
Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.所以D不正确.故选A.
本题也可以用秩分析.由于(Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
)=A(α
1
,α
2
,…,α
s
),所以
r(Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
)=r[A(α
1
,α
2
,…,α
s
)]≤r(α
1
,α
2
,…,α
s
).
若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则r(α
1
,α
2
,…,α
s
)<s.于是r(Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
)<s.故Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.
故选项(A)正确.
注:要确定结论正确,则要求在任意情况下结论都正确,取特殊的正确,则不能确定结论正确.要确定结论不正确,只需取一种特殊情况,结论不正确,即可否定.则
x
1
(α
1
+α
2
)+x
2
(α
2
+α
3
)+…+x
s
(α
s
+α
1
)=0,
即
(x
1
+x
s
)α
1
+(x
1
+x
2
)α
2
+…+(x
s-1
+x
s
)α
s
=0,
由于α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,所以
方程组的系数行列式为
当s为奇数时,D=2≠0,方程组只有零解,所以x
1
=0,x
2
=0,…,x
s
=0,此时向量组β
1
,β
2
,…,β
s
线性无关.当s为偶数时,D=0,方程组有非零解,即有不全为零的k
1
,k
2
,…,k
s
使得k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s
β
s
=0,故向量组β
1
,β
2
,…,β
s
线性相关.
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