设A为三阶实对称矩阵，且满足A2+2A=O。已知A的秩r(A)=2。 (Ⅰ)求A的全部特征值； (Ⅱ)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2018-04-18 55

问题设A为三阶实对称矩阵，且满足A²+2A=O。已知A的秩r(A)=2。
(Ⅰ)求A的全部特征值；
(Ⅱ)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案(Ⅰ)设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则Aα=λα(α≠0)，且 A²α=λ²α。于是 (A²+2A)α=(λ²+2λ)α。由A²+2A=O可知 (λ²+2λ)α=0。又因α≠0，故有λ²+2λ=0，故λ=一2或λ=0。因为实对称矩阵A必可以对角化，且r(A)=2。所以 [*] 因此，矩阵A的全部特征值为λ₁=λ₂=一2，λ₃=0。 (Ⅱ)矩阵A+kE仍为实对称矩阵，由(Ⅰ)知，A+kE的全部特征值为一2+k，一2+k，k。于是，当k＞2时，矩阵A+kE的全部特征值大于零，即矩阵A+kE为正定矩阵。

解析

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考研数学三

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设A为三阶实对称矩阵，且满足A2+2A=O。已知A的秩r(A)=2。 (Ⅰ)求A的全部特征值； (Ⅱ)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

考研数学三

设曲线y=ax2(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1一x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D，求：(1)D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)；(2)a的值，使V(a)为最大．

设α1=（1，3，5，一1）T，α2=（2，7，a，4）T，α3=（5，17，一1，7）T．①若α1，α2，α3线性相关，求α．②当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4．③设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α

设①求作可逆矩阵P，使得（AP）TAP是对角矩阵．②k取什么值时A+kE正定?

设f(x)=试问当α取何值时，f(x)在点x=0处，①连续；②可导；③一阶导数连续；④二阶导数存在．

设f(x)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，fˊ(0)=0．证明：在[－1，1]内存在ξ，使得fˊˊˊ(ξ)=3．

设A是秩为n－1的n阶矩阵，α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，则Ax=0的通解必定是()

实二次型f(x1，x2，…，xn)的秩为r，符号差为s，且f和－f合同，则必有()

设连续型随机变量X的分布函数为其中a＞0，Ф(x)，φ(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令，求Y的密度函数．

已知随机变量X服从参数为1的指数分布，Y服从标准正态分布，X与Y独立．现对X进行n次独立重复观察，用Z表示观察值大于2的次数，求T=Y+Z的分布函数FT(t)．

核酸中核苷酸之间的连接方式是

下列规划中属于综合性规划的是()。

()即解脱之路，通向涅槊的修行方法。

我国民族拉弦乐器中最具代表性的两种乐器是_、_。

领导让你执行任务，但给你的指示让你执行任务比较困难，你怎么办?

关于信号检测论，下列说法正确的是()。

数据库管理系统为用户和应用程序提供了【1】语言，用此语言可以定义数据库的模式结构，但此语言执行后的结果不能回滚。

Java源文件中最多只能有一个【】类，其他类的个数不限。

在下列字符中，其ASCII码值最小的一个是（）。

设A为三阶实对称矩阵，且满足A2+2A=O。已知A的秩r(A)=2。 (Ⅰ)求A的全部特征值； (Ⅱ)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

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设①求作可逆矩阵P，使得（AP）TAP是对角矩阵．②k取什么值时A+kE正定?

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设f(x)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，fˊ(0)=0．证明：在[－1，1]内存在ξ，使得fˊˊˊ(ξ)=3．

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设连续型随机变量X的分布函数为其中a＞0，Ф(x)，φ(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令，求Y的密度函数．

已知随机变量X服从参数为1的指数分布，Y服从标准正态分布，X与Y独立．现对X进行n次独立重复观察，用Z表示观察值大于2的次数，求T=Y+Z的分布函数FT(t)．

核酸中核苷酸之间的连接方式是

下列规划中属于综合性规划的是()。

()即解脱之路，通向涅槊的修行方法。

我国民族拉弦乐器中最具代表性的两种乐器是_________、_________。

领导让你执行任务，但给你的指示让你执行任务比较困难，你怎么办?

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数据库管理系统为用户和应用程序提供了【1】语言，用此语言可以定义数据库的模式结构，但此语言执行后的结果不能回滚。

Java源文件中最多只能有一个【】类，其他类的个数不限。

在下列字符中，其ASCII码值最小的一个是（）。

我国民族拉弦乐器中最具代表性的两种乐器是_、_。