设A为三阶实对称矩阵，且满足A2+2A=O。已知A的秩r(A)=2。 (Ⅰ)求A的全部特征值； (Ⅱ)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2018-04-18 73

问题设A为三阶实对称矩阵，且满足A²+2A=O。已知A的秩r(A)=2。
(Ⅰ)求A的全部特征值；
(Ⅱ)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案(Ⅰ)设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则Aα=λα(α≠0)，且 A²α=λ²α。于是 (A²+2A)α=(λ²+2λ)α。由A²+2A=O可知 (λ²+2λ)α=0。又因α≠0，故有λ²+2λ=0，故λ=一2或λ=0。因为实对称矩阵A必可以对角化，且r(A)=2。所以 [*] 因此，矩阵A的全部特征值为λ₁=λ₂=一2，λ₃=0。 (Ⅱ)矩阵A+kE仍为实对称矩阵，由(Ⅰ)知，A+kE的全部特征值为一2+k，一2+k，k。于是，当k＞2时，矩阵A+kE的全部特征值大于零，即矩阵A+kE为正定矩阵。

解析

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考研数学三

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设A为三阶实对称矩阵，且满足A2+2A=O。已知A的秩r(A)=2。 (Ⅰ)求A的全部特征值； (Ⅱ)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

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