2. 考研
  3. 设A为三阶实对称矩阵，且满足A2+2A=O。已知A的秩r(A)=2。 (Ⅰ)求A的全部特征值； (Ⅱ)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

设A为三阶实对称矩阵，且满足A2+2A=O。已知A的秩r(A)=2。 (Ⅰ)求A的全部特征值； (Ⅱ)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2018-04-18  44
问题 设A为三阶实对称矩阵，且满足A2+2A=O。已知A的秩r(A)=2。
    (Ⅰ)求A的全部特征值；
    (Ⅱ)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。
选项
答案(Ⅰ)设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则Aα=λα(α≠0)，且 A2α=λ2α。 于是 (A2+2A)α=(λ2+2λ)α。 由A2+2A=O可知 (λ2+2λ)α=0。 又因α≠0，故有λ2+2λ=0，故λ=一2或λ=0。 因为实对称矩阵A必可以对角化，且r(A)=2。所以 [*] 因此，矩阵A的全部特征值为λ1=λ2=一2，λ3=0。 (Ⅱ)矩阵A+kE仍为实对称矩阵，由(Ⅰ)知，A+kE的全部特征值为一2+k，一2+k，k。 于是，当k＞2时，矩阵A+kE的全部特征值大于零，即矩阵A+kE为正定矩阵。
解析
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考研数学三

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