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  3. 设A是m×s阶矩阵，B为s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)，证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组。

设A是m×s阶矩阵，B为s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)，证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组。

admin2021-11-25  53
问题 设A是m×s阶矩阵，B为s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)，证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组。
选项
答案首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解，令r(B)=r,且ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn-r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解，即Bη0≠0,显然ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn-r，η0线性无关，若ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn-r，η0线性相关，则存在不全为零的常数k1,k2,k3,…,kn-r，k0使得k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3+...+kn-rξn-r+k0η0=0。 若k0=0，则k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3+...+kn-rξn-r=0，因为ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn-r线性无关，所以k1,k2,k3,…,kn-r=0，从而ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn-r，η0线性无关，所以k0≠0,故η0可由ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn-r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη0=0，矛盾，所以ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn-r，η0线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n－r(AB)≥n－r+1,r(AB)≤r－1,这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解。
解析
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考研数学二

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