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设向量组,α1,α2……αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解. 证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αr线性无关.
设向量组,α1,α2……αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解. 证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αr线性无关.
admin
2020-02-28
54
问题
设向量组,α
1
,α
2
……α
r
是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解.
证明:向量组β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
r
线性无关.
选项
答案
用矩阵表示法证之.先证α
1
,α
2
……α
n
,β线性无关,可用反证法证之.如果α
1
,α
2
……α
n
,β线性相关,而α
1
,α
2
……α
n
线性无关,故β可由α
1
,α
2
……α
n
线性表示.设β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
.在上式两端左乘A,得到Aβ=k
1
Aα
1
+k
2
Aα
2
+…+k
n
Aα
n
=0+0+…+0=0.这与Aβ≠0矛盾,故α
1
,α
2
……α
n
,β线性无关.又因 [*] =[α
1
,α
2
……α
n
]K.显然|K|≠0,故β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
n
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MDA4777K
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考研数学二
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