2. 考研
  3. 设向量组，α1,α2……αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解． 证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αr线性无关．

设向量组，α1,α2……αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解． 证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αr线性无关．

admin2020-02-28  51
问题 设向量组，α1,α2……αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解．
证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αr线性无关．
选项
答案用矩阵表示法证之．先证α1,α2……αn，β线性无关，可用反证法证之．如果α1,α2……αn，β线性相关，而α1,α2……αn线性无关，故β可由α1,α2……αn线性表示．设β=k1α1+k2α2+…+knαn．在上式两端左乘A，得到Aβ=k1Aα1+k2Aα2+…+knAαn=0+0+…+0=0．这与Aβ≠0矛盾，故α1,α2……αn，β线性无关．又因 [*] =[α1,α2……αn]K．显然｜K｜≠0，故β，β+α1，β+α2，…，β+αn线性无关．
解析
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考研数学二

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