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设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,证明:xf(x)dx≥f(x)dx.
设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,证明:xf(x)dx≥f(x)dx.
admin
2019-11-25
16
问题
设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,证明:
xf(x)dx≥
f(x)dx.
选项
答案
方法一 令φ(x)=(x-[*])[f(x)-f([*])], 因为f(x)在[a,b]上单调增加,所以[*]φ(x)dx≥0, 而[*]φ(x)dx=[*](x-[*])[f(x)-f([*])]dx =[*](x-[*])f(x)dx-f([*])[*](x-[*])dx=[*](x-[*])f(x)dx=[*]xf(x)dx-[*]f(x)dx, 故[*]xf(x)dx≥[*]f(x)dx. 方法二 令φ(x)=[*]tf(t)dt-[*]f(t)dt,显然φ(a)=0. φ’(x)=xf(x)-[*]f(t)dt-[*]f(x)=[*][(x-a)f(x)-[*]f(t)dt] =[*][[*]f(x)dt-[*]f(t)dt]=[*][f(x)-f(t)]dt≥0, 由[*]得φ(b)≥φ(a)=0,所以[*]xf(x)dx≥[*]f(x)dx.
解析
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考研数学三
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