2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：xf(x)dx≥f(x)dx．

设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：xf(x)dx≥f(x)dx．

admin2019-11-25  15
问题 设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：xf(x)dx≥f(x)dx．
选项
答案方法一 令φ(x)＝(x－[*])[f(x)－f([*])]， 因为f(x)在[a，b]上单调增加，所以[*]φ(x)dx≥0， 而[*]φ(x)dx＝[*](x－[*])[f(x)－f([*])]dx ＝[*](x－[*])f(x)dx－f([*])[*](x－[*])dx＝[*](x－[*])f(x)dx＝[*]xf(x)dx－[*]f(x)dx， 故[*]xf(x)dx≥[*]f(x)dx． 方法二 令φ(x)＝[*]tf(t)dt－[*]f(t)dt，显然φ(a)＝0． φ’(x)＝xf(x)－[*]f(t)dt－[*]f(x)＝[*][(x－a)f(x)－[*]f(t)dt] ＝[*][[*]f(x)dt－[*]f(t)dt]＝[*][f(x)－f(t)]dt≥0， 由[*]得φ(b)≥φ(a)＝0，所以[*]xf(x)dx≥[*]f(x)dx．
解析
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考研数学三

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