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设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知矩阵B=λE+ATA,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知矩阵B=λE+ATA,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
admin
2019-03-12
67
问题
设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知矩阵B=λE+A
T
A,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
选项
答案
因为B
T
=(λB+A
T
A)
T
=λE+A
T
A=B,所以B是n阶实对称矩阵.构造二次型x
T
Bx, 那么 x
T
Bx=x
T
(λE+A
T
A)x=λx
T
x+x
T
A
T
Ax=λx
T
x+(Ax)
T
(Ax). Vx≠0,恒有x
T
x>0,(Ax)
T
(Ax)≥0. 因此 当λ>0时,Vx≠0,有x
T
Bx=λx
T
x+(Ax)
T
(Ax)>0. 二次型为正定二次型,故B为正定矩阵.
解析
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考研数学三
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