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非负连续函数f(x)满足f(0)=0,f(1)=1,已知以曲线y=f(x)为曲边,以[0,x]为底的曲边梯形,其面积与f(x)的n+1次幂成正比,则f(x)的表达式为________.
非负连续函数f(x)满足f(0)=0,f(1)=1,已知以曲线y=f(x)为曲边,以[0,x]为底的曲边梯形,其面积与f(x)的n+1次幂成正比,则f(x)的表达式为________.
admin
2022-03-23
32
问题
非负连续函数f(x)满足f(0)=0,f(1)=1,已知以曲线y=f(x)为曲边,以[0,x]为底的曲边梯形,其面积与f(x)的n+1次幂成正比,则f(x)的表达式为________.
选项
答案
[*]
解析
由题意∫
0
x
f(t)dt=k[f(x)]
n+1
,其中k>0为常数,上式两边对x求导,得
f(x)=k(n+1)[f(x)]
n
f’(x)
记y=f(x),得微分方程
且y|
x=0
=0,y|
x=1
=1,解之,得
由y|
x=0
=0得C=0,再由y|
x=1
=1得
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考研数学三
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