非负连续函数f(x)满足f(0)=0,f(1)=1,已知以曲线y=f(x)为曲边，以[0,x]为底的曲边梯形，其面积与f(x)的n+1次幂成正比，则f(x)的表达式为________.

admin2022-03-23 93

问题非负连续函数f(x)满足f(0)=0,f(1)=1,已知以曲线y=f(x)为曲边，以[0,x]为底的曲边梯形，其面积与f(x)的n+1次幂成正比，则f(x)的表达式为________.

选项

答案[*]

解析由题意∫₀^xf(t)dt=k[f(x)]ⁿ⁺¹,其中k＞0为常数，上式两边对x求导，得
f(x)=k(n+1)[f(x)]ⁿf’(x)
记y=f(x)，得微分方程

且y｜_x=0=0,y｜_x=1=1,解之，得

由y｜_x=0=0得C=0,再由y｜_x=1=1得

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考研数学三

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