设连续函数f(x)满足f(x)=∫02xdt+ex，则f(x)=_______．

admin2019-09-04 77

问题设连续函数f(x)满足f(x)=∫₀^2x

dt+e^x，则f(x)=_______．

选项

答案2e^2x-e^x

解析 ∫₀^2x

dt=2∫₀^xf(f)dt，则f(x)=∫₀^2x

dt+e^x可化为
f(x)=2∫₀^xf(t)dt+e^x，两边求导数得f’(x)-2f(x)=e^x，解得
f(x)=(∫e^x.e^∫-2dxdx+C)e^∫-2dx=(-e^x+C)e^2x=Ce^2x-e^x，
因为f(0)=1，所以f(0)=C-1=1，C=2，于是f(x)=2e^2x-e^x．

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