求圆x2+y2=1的一条切线，使此切线与抛物线y=x2－2所围面积取最小值，并求此最小值．

admin2018-06-15 13

问题求圆x²+y²=1的一条切线，使此切线与抛物线y=x²－2所围面积取最小值，并求此最小值．

选项

答案如图4．5，圆周的参数方程为x=cosθ，y=sinθ．圆周上[*]点(cosθ，sinθ)处切线的斜率是dy／dx=－cosθ／sinθ=－cotθ，于是切线方程是 [*] 它与y=x²－2交点的横坐标较小者为α，较大者为β，则α，β是方程x²+xcotθ－2－[*]=0的根，并且切线与抛物线所围面积为 [*] 为求1／6(β－α)³最小值，只要求(β－α)²最小值，由一元二次方程根与系数关系得 (β－α)²=(β+α)²－4αβ=cot²θ+4(2+[*]) [*] 因此，所围面积最小值为 [*] 所求切线有两条： [*]

解析

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