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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,且f’+(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,且f’+(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)
admin
2019-11-25
27
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,且f’+(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)<0.
选项
答案
因为[*]=f’
+
(a)>0,所以存在δ>0,当0<x-a<δ时,有[*]>0,从而f(x)>f(a),于是存在c∈(a,b),使得f(c)>f(a)=0. 由微分中值定理,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得f’(ξ
1
)=[*]>0,f’(ξ
2
)=[*]<0. 再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得 f”(ξ)=[*]<0.
解析
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考研数学三
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