设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且f’＋(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)

admin2019-11-25 50

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且f’＋(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)<0．

选项

答案因为[*]＝f’_＋(a)＞0，所以存在δ＞0，当0＜x－a＜δ时，有[*]＞0，从而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)＝0．由微分中值定理，存在ξ₁∈(a，c)，ξ₂∈(c，b)，使得f’(ξ₁)＝[*]＞0，f’(ξ₂)＝[*]＜0．再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性，存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](a，b)，使得 f”(ξ)＝[*]＜0．

解析

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考研数学三

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