设f(x)在[0,1]上有定义，且exf(x)与e-f(x)在[0,1]上单调增加，证明：f(x)在[0,1]上连续。

admin2021-11-25 45

问题设f(x)在[0,1]上有定义，且e^xf(x)与e^-f(x)在[0,1]上单调增加，证明：f(x)在[0,1]上连续。

选项

答案对任意的x₀∈[0,1],因为e^xf(x)与e^-f(x)在[0,1]上单调增加，所以当x＜x₀时，有[*],故f(x₀)≤f(x)≤[*]f(x₀) 令x→x₀^-,由迫敛定理可得，f(x₀－0)=f(x₀) 当x＞x₀时，有[*],故[*]f(x₀)≤f(x)≤f(x₀) 令x→x₀⁺,由迫敛定理可得f(x₀+0)=f(x₀),故f(x₀－0)=f(x₀+0)=f(x₀) 即f(x)在x=x₀处连续，由x₀的任意性可得f(x)在[0,1]上连续。

解析

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