2. 考研
  3. 设f(x)在[0,1]上有定义，且exf(x)与e-f(x)在[0,1]上单调增加，证明：f(x)在[0,1]上连续。

设f(x)在[0,1]上有定义，且exf(x)与e-f(x)在[0,1]上单调增加，证明：f(x)在[0,1]上连续。

admin2021-11-25  34
问题 设f(x)在[0,1]上有定义，且exf(x)与e-f(x)在[0,1]上单调增加，证明：f(x)在[0,1]上连续。
选项
答案对任意的x0∈[0,1],因为exf(x)与e-f(x)在[0,1]上单调增加， 所以当x＜x0时，有[*],故f(x0)≤f(x)≤[*]f(x0) 令x→x0-,由迫敛定理可得，f(x0－0)=f(x0) 当x＞x0时，有[*],故[*]f(x0)≤f(x)≤f(x0) 令x→x0+,由迫敛定理可得f(x0+0)=f(x0),故f(x0－0)=f(x0+0)=f(x0) 即f(x)在x=x0处连续，由x0的任意性可得f(x)在[0,1]上连续。
解析
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考研数学二

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