设矩阵A＝相似于矩阵B＝　　 (I)求a，b的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩阵．

admin2021-01-25 116

问题设矩阵A＝

相似于矩阵B＝

　　 (I)求a，b的值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P^－1AP为对角矩阵．

选项

答案(I)由于矩阵A与矩阵B相似，所以 tr(A)＝tr(B) ，｜A｜＝｜B｜于是 3＋a＝2＋b，2a－3 ＝b，解得 a＝4，b＝5 (Ⅱ) 由(I)知[*] 由于矩阵A与矩阵B相似，所以｜λE－A｜＝｜λE－B｜＝(λ－1)²(λ－5) 故A的特征值为λ₁＝λ₂＝1，λ₃＝5．当λ₁＝λ₂＝1时，由方程组(E—A)x＝0，得线性无关的特征向量ξ₁＝[*]ξ₂＝[*] 当λ₃＝5时，由方程组(5E—A)x＝0，得特征向量ξ₃＝[*] 令P＝(ξ₁，ξ₂，ξ₃)＝[*]则 P^－1AP＝[*] 故P为所求可逆矩阵．

解析

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