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设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,BT为B的转置矩阵.试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩(B)=n.
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,BT为B的转置矩阵.试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩(B)=n.
admin
2019-05-10
56
问题
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,B
T
为B的转置矩阵.试证:B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是秩(B)=n.
选项
答案
B
T
AB正定的充要条件是秩(B)=n,证法较多.注意到B
T
AB中含互为转置的矩阵B与B
T
,用定义证之较方便.方程组BX=0[*]秩(B)=n,这是用定义证明正定性的关键.也可用特征值法证之. 证 (1)必要性 证一 用齐次方程组只有零解证之.因B
T
AB正定,由定义知,对任意X≠0,X
T
(B
T
AB)X=(BX)
T
A(BX)>0,故必有BX≠0,即BX=0只有零解,故秩(B)=n. 证二 由B
T
AB正定知,∣B
T
AB∣≠0,则秩(B
T
AB)=n.又因n=秩(B
T
AB)≤秩(B)≤n,故秩(B)=n. (2)充分性 证一 用正定的定义证之.因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
B=B
T
A;,故B
T
AB为对称矩阵.(正定矩阵必是实对称矩阵,所以充分性首先必证明这一点.) 由秩(B)=n知,齐次线性方程组BX=0只有零解,于是任意X
0
≠0,恒有BX
0
≠0,又因A是正定矩阵,所以对BX
0
≠0,必有(BX
0
)
T
A(BX
0
)>0. 即对[*]X
0
≠0,恒有X
0
T
(B
T
AB)X
0
>0,故B
T
AB是正定矩阵. 证二 用特征值法证之.设λ是矩阵B
T
AB的任一特征值,α是属于特征值λ的特征向量, 即B
T
ABα=λα(α≠0),用α
T
左乘等式的两端,有(Bα)
T
A(Bα)=λα
T
α. 由于秩(B)=n,α≠0知,Bα≠0,又因A正定,从而有(Ba)
T
A(Ba)>0.于是 λα
T
α=(Ba)
T
A(Ba)>0. 而α
T
α=∣∣α∣∣
2
>0,故特征值λ>0.又 B
T
AB为实对称矩阵,故B
T
AB正定.
解析
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考研数学二
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