2. 考研
  3. 已知f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(0＜a＜b)，且f(a)=f(b)=0，证明： 在区间(a，b)内至少有一点ξ，使得f’(ξ)=；

已知f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(0＜a＜b)，且f(a)=f(b)=0，证明： 在区间(a，b)内至少有一点ξ，使得f’(ξ)=；

admin2022-06-04  58
问题 已知f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(0＜a＜b)，且f(a)=f(b)=0，证明：
在区间(a，b)内至少有一点ξ，使得f’(ξ)=；
选项
答案令F(x)=xf(x)，则由f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，得F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，再由f(A)=f(B)=0得F(A)=F(B)=0，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0．而由 F’(x)=xf’(x)+f(x) 得 F’(ξ)=ξf’(ξ)+f(ξ)=0 由于ξ∈(a，b)且ξ≠0，则 f’(ξ)=-f(ξ)/ξ
解析
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考研数学三

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