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已知α1,α2,α3线性无关.α1+tα2,α2+2tα3,α3+4tα1线性相关.则实数t等于______.
已知α1,α2,α3线性无关.α1+tα2,α2+2tα3,α3+4tα1线性相关.则实数t等于______.
admin
2018-06-27
34
问题
已知α
1
,α
2
,α
3
线性无关.α
1
+tα
2
,α
2
+2tα
3
,α
3
+4tα
1
线性相关.则实数t等于______.
选项
答案
-1/2
解析
本题可以用定义做,但是表述比较哕嗦,用秩比较简单.证明α
1
+tα
2
,α
2
+2tα
3
,α
3
+4tα
1
线性相关就是要证明其秩小于3.
记矩阵A=(α
1
+tα
2
,α
2
+2tα
3
,α
3
+4tα
1
).用矩阵分解,有
A=(α
1
,α
2
,α
3
)
记C=
由于α
1
,α
2
,α
3
线性无关,(α
1
,α
2
,α
3
)是列满秩的,于是根据矩阵秩的性质⑥,
r(α
1
+tα
2
,α
2
+2tα
3
,α
3
+4tα
2
)=r(A)=r(C).
于是α
1
+tα
2
,α
2
+2tα
3
,α
3
+4tα
2
线性
相关
r(C)<3
|C|=0.
求出|c|=1+8t
3
,于是得8t
3
=-1,t=-1/2.
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考研数学二
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