已知α1,α2,α3线性无关.α1+tα2,α2+2tα3,α3+4tα1线性相关.则实数t等于______.

admin2018-06-27  34

问题 已知α1,α2,α3线性无关.α1+tα2,α2+2tα3,α3+4tα1线性相关.则实数t等于______.

选项

答案-1/2

解析 本题可以用定义做,但是表述比较哕嗦,用秩比较简单.证明α1+tα2,α2+2tα3,α3+4tα1线性相关就是要证明其秩小于3.
    记矩阵A=(α1+tα2,α2+2tα3,α3+4tα1).用矩阵分解,有
A=(α1,α2,α3)
记C=
由于α1,α2,α3线性无关,(α1,α2,α3)是列满秩的,于是根据矩阵秩的性质⑥,
    r(α1+tα2,α2+2tα3,α3+4tα2)=r(A)=r(C).
    于是α1+tα2,α2+2tα3,α3+4tα2线性
相关r(C)<3|C|=0.
    求出|c|=1+8t3,于是得8t3=-1,t=-1/2.
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