设二次型 f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3，(b＞0) 其中A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (1)求a，b． (2)用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准型．

admin2018-06-27 29

问题设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX=ax₁²+2x₂²-2x₃²+2bx₁x₃，(b＞0)
其中A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
(1)求a，b．
(2)用正交变换化f(x₁，x₂，x₃)为标准型．

选项

答案(1)A=[*] 由条件知，A的特征值之和为1，即a+2+(-2)=1，得a=1．特征值之积=-12，即｜A｜=-12，而｜A｜=[*]=2(-2-b²) 得b=2(b＞0)．则 [*] (2)｜λE-A｜=[*]=(λ-2)²(λ+3)，得A的特征值为2(二重)和-3(一重)．对特征值2求两个单位正交的特征向量，即(A-2E)X=0的非零解． [*] 得(A-2E)X=0的同解方程组x₁-2x₃=0，求出基础解系η₁=(0，1，0)^T，η₂=(2，0，1)^T．它们正交，单位化：α₁=η₁，α₂=[*] 方程x₁-2x₃=0的系数向量(1，0，-2)^T和η₁，η₂都正交，是属于一3的一个特征向量，单位化得 α₃=[*] 作正交矩阵Q=(α₁，α₂，α₃)，则 Q^TAQ=[*] 作正交变换X=QY，则它把f化为Y的二次型f=2y₁²+2y₂²-3y₃²．

解析

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考研数学二

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