2. 考研
  3. 设二次型 f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3，(b＞0) 其中A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (1)求a，b． (2)用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准型．

设二次型 f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3，(b＞0) 其中A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (1)求a，b． (2)用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准型．

admin2018-06-27  47
问题 设二次型
f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3，(b＞0)
其中A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
    (1)求a，b．
    (2)用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准型．
选项
答案(1)A=[*] 由条件知，A的特征值之和为1，即a+2+(-2)=1，得a=1． 特征值之积=-12，即｜A｜=-12，而 ｜A｜=[*]=2(-2-b2) 得b=2(b＞0)．则 [*] (2)｜λE-A｜=[*]=(λ-2)2(λ+3)， 得A的特征值为2(二重)和-3(一重)． 对特征值2求两个单位正交的特征向量，即(A-2E)X=0的非零解． [*] 得(A-2E)X=0的同解方程组x1-2x3=0，求出基础解系η1=(0，1，0)T，η2=(2，0，1)T．它们正交，单位化：α1=η1，α2=[*] 方程x1-2x3=0的系数向量(1，0，-2)T和η1，η2都正交，是属于一3的一个特征向量，单位化得 α3=[*] 作正交矩阵Q=(α1，α2，α3)，则 QTAQ=[*] 作正交变换X=QY，则它把f化为Y的二次型f=2y12+2y22-3y32．
解析
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考研数学二

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