[2010年] 设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 [*] 证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0);

admin2019-03-30  32

问题 [2010年]  设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且
        [*]
证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0);  

选项

答案设[*]则F(0)=0,[*]而[*]对F(x)在[0,2]上应用拉格朗日中值定理知,存在η∈(0,2),使 F(2)-F(0)=(2-0)F’(η)=2F’(η). 因F’(x)=f(x),故F’(η)=f(η),所以F(2)-F(0)=2f(η),即[*]由题设知[*]故2f(η)=2f(0),即f(η)=f(0),其中η∈(0,2).

解析
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